Hallo vxvx,
ein Spiel ist fair, wenn E(x) = 0 gilt.
Wichtig ist, zu erkennen, dass das dreimalige Würfeln und die Bestimmung eines bestimmten Wertes eine Bernoullikette beschreibt, da
(1) Die Wahrscheinlichkeit bei jedem Wurf gleich bleibt: Die Wahrscheinlichkeiten sind stochastisch unabhängig voneinander, da das Ergebnis des ersten Wurfs keinen Einfluss auf das des zweiten Wurfs usw. hat.
(2) Wir haben nur zwei Ergebnisse gegeben (bei jedem Wurf - aus (1) folgt, dass diese auch die gleichen Wahrscheinlichkeiten besitzen): Wird die bestimmte Zahl gewürfelt, zählt das als "Treffer", eine "Niete" sind alle Zahlen außer diese bestimmte.
Die Wahrscheinlichkeit für die bestimmte Zahl ist nun 1/6, es gilt: 1-1/6 = 5/6, also ist die Wahrscheinlichkeit, nicht diese Zahl zu würfeln, 5/6.
Dann müssen wir uns die Bestimmungen ansehen:
Die Zufallsvariable X gibt den Gewinn an. Nachdem 2€ für die Beteiligung gezahlt werden müssen, muss dieser Betrag miteinkalkuliert werden.
Wir wissen, dass wir im Falle der nicht getroffenen Zahl alle drei Male nichts erhalten (auch nicht unseren Einsatz), d.h., X kann den Wert -2 annehmen.
Im Falle eines einmaligen Wurfes dieser Zahl erhalten wir unseren Einsatz zurück, damit gilt: -2+2 = 0, d.h., X kann den Wert 0 annehmen.
Wird die Zahl genau zweimal geworfen, erhalten wir den doppelten Einsatz, also -2+2*2, das ergibt 2, d.h., X kann den Wert 2 annehmen.
Und zuletzt ist auch X = 4 möglich, wenn die Zahl dreimal geworfen wird.
Mit der Binomialverteilung lassen sich nun die Wahrscheinlichkeiten berechnen:
Für P(X = -2) gilt: \( \binom{3}{0}*\frac{1}{6}^0*\frac{5}{6}^3 = \frac{5}{6}^3\ = \frac{125}{216} \), da wir 0 "Treffer" haben, dreimal würfeln und die Wahrscheinlichkeit für einen "Treffer" 1/6 beträgt.
Analog lassen sich nun die Wahrscheinlichkeiten für X = 0, X = 2, X = 4 und X = 6 berechnen:
P(X = 0) = \( \binom{3}{1}*\frac{1}{6}^1*\frac{5}{6}^2 = 3*\frac{1}{6}*\frac{5}{6}^2 = \frac{25}{72} \)
P(X = 2) = \( \binom{3}{2}*\frac{1}{6}^2 *\frac{5}{6}^1 = \binom{3}{2}*\frac{1}{6}^2*\frac{5}{6} = \frac{5}{72} \)
P(X = 4) = \( \binom{3}{3}*\frac{1}{6}^3 *\frac{5}{6}^0 = \frac{1}{6}^3 = \frac{1}{216} \)
Damit ergibt sich:
| X | -2 | 0 | 2 | 4 |
| P(X=x) | \( \frac{125}{216} \)
| \( \frac{25}{72} \)
| \( \frac{5}{72} \)
| \( \frac{1}{216} \) |
Der Erwartungswert errechnet sich aus der Summe der Produkte des jeweiligen Werts der Zufallsgröße und deren Wahrscheinlichkeit, d.h.:
\(E(X) = -2*\frac{125}{216} + 0*\frac{25}{72} + 2*\frac{5}{72} + 4*\frac{1}{216} = -1 \)
Und da \( E(X) \neq 0 \), ist das Spiel nicht fair. (Vielmehr verliert man durchschnittlich einen Euro.)
