Zeigen Sie, dass die Gleichung für alle Werte von M und \alpha genau eine Lösung t_{0} hat, und drücken Sie t_{0} …

Question

Aufgabe:

1. Exponentiell abklingende Prozesse werden modelliert durch Funktionen der Form

\( f(t)=M e^{-\alpha t} \)
mit \( M, \alpha>0 . \) Betrachten Sie die Gleichung
\( f(t)=\frac{1}{2} f(0) \)
(a) Zeigen Sie, dass die Gleichung für alle Werte von \( M \) und \( \alpha \) genau eine Lösung \( t_{0} \) hat, und drücken Sie \( t_{0} \) durch \( \alpha \) aus. Bemerkung: \( t_{0} \) ist die Halbwertszeit von \( f \).
(b) Ein exponentiell abklingender Prozess hat zur Zeit \( t=0 \) den Wert 1 und zur Zeit \( t=1 \) den Wert \( a \) mit \( 0<a<1 \). Bestimmen Sie die Halbwertszeit.

Answer 1

Aloha :)

zu a) Wir bestimmen die Lösung \(t_0\) durch Äquivalenz-Umformungen:$$\left.f(t_0)=\frac{1}{2}f(0)\quad\right|\text{einsetzen}$$$$\left.Me^{-\alpha t_0}=\frac{1}{2}\,M\,e^{-\alpha\cdot0}=\frac{M}{2}\quad\right|:\,M$$$$\left.e^{-\alpha t_0}=\frac{1}{2}\quad\right|:\ln(\cdots)$$$$\left.-\alpha\,t_0=\ln\left(\frac{1}{2}\right)=\ln(1)-\ln(2)=-\ln(2)\quad\right|:(-\alpha)$$$$\left.\boxed{t_0=\frac{\ln(2)}{\alpha}}\quad\right.$$\(M\) kürzt sich raus, so dass bei gegebenem \(\alpha\) die Lösung \(t_0\) eindeutig ist.

zu b) Wir müssen aus den Angaben$$f(0)=1\quad;\quad f(1)=a$$ die Konstante \(\alpha\) bestimmen:

$$a=\frac{a}{1}=\frac{f(1)}{f(0)}=\frac{\cancel M\,e^{-\alpha\cdot1}}{\cancel M\,e^{-\alpha\cdot0}}=e^{-\alpha}\implies\ln(a)=-\alpha\implies\alpha=-\ln(a)$$Diese \(\alpha\) wird in die Formel aus (a) eingesetzt:$$t_0=-\frac{\ln(2)}{\ln(a)}$$

Beachte, dass wegen \(0<a<1\) der Wert von \(\ln(a)\) negativ ist, sodass \(t_0\) positiv ist.