vektorraum zeigen und Basis angeben

Question

Im R-Vektorraum R4 seien die Vektoren v1 = (1,1,−1,2), v2 = (2,0,3,1), v3 = (0,−2,1,−1), w1 = (1,−1,0,1), w2 = (1,5,−3,4) und der Unterraum V = ⟨v1, v2, v3⟩ gegeben.

(a) Zeigen Sie ⟨w1, w2⟩ ⊆ V .

(b) Geben Sie eine Basis von V an, welche die Vektoren w1 und w2 enthält.
Bildet auch {v1, v2, v3} eine Basis?

Answer 1

Hallo

a einfach eine Linearkoombination der vi finden, die w1 und dann w2 erzeugt.

b) einfach w1, w2 und einen der vi , der davon linear unabhängig ist.

c) ja, wenn sie linear unabhängig sind. das also nachweisen

Gruß lul

Answer 2

$$ \begin{pmatrix} 1&2&0  \\ 1& 0&-2\\-1&3&1\\2&1&-1\end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1&1  \\ 0& 0\\1&-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&1  \\-1 &5 \\0&-3\\1&4\end{pmatrix} $$

$$1v_1+1v_3 = w_1$$$$1v_1- 2v_3 = w_2$$

a)$$⟨w1, w2⟩ ⊆ V .$$

b)$$(w_1;w_2;v_2)$$

c)$$ \begin{pmatrix} 1&1&-1&2  \\2 & 0&3&1\\0&-2&1&-2\end{pmatrix}$$ $$ \begin{pmatrix} 1&1&-1&2  \\0& -2&5&-3\\0&-2&1&-2\end{pmatrix}$$$$ \begin{pmatrix} 1&1&-1&2  \\0& -2&5&-3\\0&0&-4&1\end{pmatrix}$$$$(v_1;v_2;v_3)$$sind linear unabhängig , bilden also eine Basis.