Teilmenge im Vektorraum B ⊂ V: Äquivalenz zeigen von a) B ist Basis und b) B ist linear unabhängig und...

Question

 Es seien V ein K-Vektorraum und B ⊂ V . Zeigen Sie, dass folgende zwei Aussagen äquivalent sind:
(a) B ist eine Basis von V .

(b) B ist linear unabhängig und für alle linear unabhängigen Mengen C mit B ⊂ C gilt B = C.

Answer 1

(a) ==> (b) 

Sei B Basis . Und C eine lin. unabh. Menge mit  B ⊂ C .

Angenommen, es gebe ein c ∈ C mit   c ∉ B.

Da c eine Basis von V ist, kann c als Linearkombination der

Elemente von B dargestellt werden. Dann ist aber B ∪ {c} linear

abhängig und auch eine Teilmenge von C im Widerspruch

zur lin. Unabhängigkeit von C.

(b) ==> (a) .

B ist linear unabhängig und für alle linear unabhängigen Mengen C mit B ⊂ C gilt B = C.

==>  Angenommen B wäre keine Basis von V,  dann gäbe es ein v ∈ V, das nicht als

Linearkomb. der Elemente von B dargestellt werden kann.  Dann wäre B ∪ {v} linear

unabhängig und es wäre  B ⊂ C , aber da v nicht als

Linearkomb. der Elemente von B dargestellt werden kann, ist auch v ∉ B.

Andererseits lt. Vor. ist B=C.  Widerspruch.