Sei V der Vektorraum aller Polynomfunktionen. Basis zeigen und ergänzen

Question

Sei V der Vektorraum aller Polynomfunktionen R → R vom Grad höchstens n, bei b) höchstens n = 2.
(a) Zeigen Sie, dass die Funktionen
pi(x) = x^{i}, i = 0, . . . , n
eine Basis von V bilden.
(b) Ergänzen Sie das System
q1(x) = x + 1, q2(x) = x^{2} + 3x
zu einer Basis von V .

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Sei V der Vektorraum aller Polynomfunktionen R → R vom Grad höchstens n = 2.
(a) Zeigen Sie, dass die Funktionen
pi(x) = xⁱ, i = 0, . . . , n
eine Basis von V bilden.
(b) Ergänzen Sie das System
q1(x) = x + 1, q2(x) = x² + 3x
zu einer Basis von V .

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Danke. Korrigiert.

vom Grad höchstens n ≥ 2.

geht so nicht.

Du meinst bestimmt: höchstens n = 2. Zumindest bei b)

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Ja genau. Sorry

Answer 1

Zu a) Die Funktionen

p₂(x)=x², p₁(x)=x¹=x und p₀(x)=x⁰=1 bilden für n=2 eine Basis von V, weil sich jedes Polynom aus V als Linearkombination r*x²+s*x+t*1 von eben diesen Funktionen darstellen lässt.

zu b) Verwende einfach für q₃(x) irgendeinen konstanten Wert (z.B. 1) .

Comments

Könntest du mir vielleicht noch helfen, die b Formal aufzuschreiben, bzw. mir zu zeigen, wiedu es begründen würdest? Die Aufgabe a habe ich bereits gelöst.

Das hat uns der Lehrer noch als Tipp gegeben: Für (b) haben wir heute schon geklärt, wie viele Basisvektoren ergänzt werden müssen. Vergesst bitte nicht am Ende noch zu beweisen, dass eure ergänzte Basis auch wirklich eine Basis ist