Polynomfunktionen in einem Vektorraum

Question

Aufgabe - Polynomfunktionen:

Sei \( V \) der Vektorraum aller Funktionen \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) über dem Körper \( \mathbb{R} \) und \( U \) der Unterraum aller Polynomfunktionen vom Grad \( \leq 3 \). Offensichtlich bilden die Funktionen \( 1, x, x^{2}, x^{3} \) (anders geschrieben \( f_{0}(x)=1, f_{1}(x)=x, f_{2}(x)=x^{2} \) und \( f_{3}(x)=x^{3} \) ) eine Basis von \( U \).

a) Sei \( g_{i}(x)=f_{i}(x)+1 \) für alle \( i \in\{0,1,2,3\} \). Zeigen Sie, dass dann \( \left\{g_{0}, g_{1}, g_{2}, g_{3}\right\} \) eine Basis von \( U \) ist.

b) Warum kann man a) nicht analog auf die Funktionen \( g_{i}(x)=f_{i}(x)-1 \) übertragen?

c) Sei \( h_{k}(x)=(x+k)^{3} \) für beliebige \( k \in \mathbb{Z} \). Zeigen Sie, dass dann \( \left\{h_{k} \mid k \in \mathbb{Z}\right\} \) ein Erzeugendensystem von \( U \) ist.

Answer 1

a) Ansatz  a*go + b*g1 + cg2 + d*g3 = 0

gibt a+b+c+d + b*x + c*x^2 + dx^3 = 0 für alle x aus R,

also a=b=c=d=0 damit sind die g's lin. unabh. und

weil es 4 Stück sind :   Basis

b) dann wäre go das Nullpolynom, kommt nicht

in einer Basis von U vor.

c) ho ist x^3 

h₁ - h_-1  = 6x^2 + 2

h₁ + h_-1  = 2x^3 + 6x

h2 - ho = 6x^2 + 12x + 8

diese vier sind - wie man leicht nachrechnet -

lin. unabh. bilden also eine Basis von U und

da sie alle von ho,h1,h-1 und h2 erzeugt werden,

bilden sogar diese 4 4in Erz.system für U

also erst recht alle h_k  .