Aufgabe:
Der hyperbolische cosinus und der hyperbolische sinus werden definiert durch
\( \begin{array}{ll} \cosh : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, & z \mapsto \frac{1}{2}\left(e^{z}+e^{-z}\right) \\ \sinh : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, & z \mapsto \frac{1}{2}\left(e^{z}-e^{-z}\right) \end{array} \)
(a) \( \quad \) Skizzieren Sie die Graphen von cosh: \( \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) und \( \sinh : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \).
(b) Zeigen Sie für alle \( z \in \mathbb{C} \) :
\( \cosh (z)=\cos (i z) \)
(c) Finden Sie eine zu (b) analoge Formel für sinh. Begründen Sie Ihr Ergebnis.
(d) Zeigen Sie \( \cosh (z)^{2}-\sinh (z)^{2}=1 \) für alle \( z \in \mathbb{C} \)
