vektorraum Unterraum zeigen

Question

Seien V ein K-Vektorraum und U ≤ V ein Unterraum.

(a) Seien S = {u1,...,ur} eine Basis von U und {w1,...,ws} ⊆ V \S. Zeigen Sie,
dass {u1,...,ur,w1,...,ws} genau dann eine Basis von von V ist wenn {w1 +U,...,ws +U}
eine Basis von V/U ist.

(b) Sei W ≤ V ein Unterraum. Zeigen Sie, dass W genau dann ein Komplement
von U ist, wenn π : W → V /U, w → w + U ein Isomorphismus ist.

Answer 1

{w1 +U,...,ws +U} eine Basis von V/U ist.

==>  1. sie sind lin. unabhängig und 2. sie erzeugen V/U

aus 1. folgt:  Für alle x1,...xs ∈ K gilt

x1*(w1+U) + ... + xs*(ws + U) = 0 ==> x1=...=xs = 0  #

Zeige erstens u1,...,ur,w1,...,ws sind lin. unabh.

Seien nun y1,...,yr und x1,...xs ∈ K mit

y1u1+...+yrur + x1w1+ ... + xsws = 0   ##

Da u1,..,ur Basis von U, ist y1u1+...+yrur ∈ U

Dann folgt aus ##     x1w1+ ... + xsws  ∈ U

==>   x1*(w1+U) + ... + xs*(ws + U) = 0 (U ist ja die 0 von V/U)

==>   x1=...=xs=0 , wegen #

Also folgt aus ##    y1u1+...+yrur = 0 und wegen

der lin. Unabhängigkeit von u1,...,ur also auch

y1=...=yr=0 .

Somit sind u1,...,ur,w1,...,ws lin. unabhängig.

Zeige nun u1,...,ur,w1,...,ws erzeugen V.

Sei v∈U, dann wird v durch u1,...,ur dargestellt, weil

die eine Basis von U bilden, und die

anderen bekommen je den Faktor 0.

Sei v∉U, dann wird v+U dargestellt durch w1+U,...,ws+U

etwa v+U =  x1*(w1+U) + ... + xs*(ws + U)

==> Es gibt ein u ∈ U mit v+u =  x1*w1 + ... + xs*ws

Das u lässt sich aber wieder durch die Basis S darstellen,

also ist {u1,...,ur,w1,...,ws} ein Erzeugendensystem für V.

Fehlt noch die Rückrichtung:

{u1,...,ur,w1,...,ws} Basis von von V

==>   {w1 +U,...,ws +U} eine Basis von V/U ist.

Versuch mal selbst .

Comments

hast du auch einen ansatz für b