Differenzenquotient - mittlere Änderungsrate

Question

Aufgabe: Die FUnktion h beschreibt die Höhe eines Ballons in Abhängigkeit von der Zeit t (t in Minuten nach dem Start, h(t) in Meter). Der Ballon fährt 6 min nach dem Start in 170m Höhe. Im Zeitintervall zwischen 6 min und 8 min steigt der Ballon mit der mittleren Geschwindigkeit 40 \( \frac{m}{min} \)  senkrecht nach oben. Ist die folgende Angabe richtig, falsch oder möglicherweise richtig?

a) h(8) = 210 b) h(6) = 170 c) h(7) = 210 d) h(8) = 250 e) h(10) = 330 f) h(7) = 190

Problem/Ansatz: Mir ist die Aufgabe sehr wichtig, daher habe ich komplette Ansätze zu jeder Teilaufgabe geschrieben (Sorry für den langen Text). Wenn jemand auch einen Fehler in meinem Ansatz findet, bitte verbessern und melden.

a) Zur Beurteilung folgender Aufgabe, berehnet man die mittlere Änderungsrate mithilfe der Angaben und schaut dann, ob die mittlere Änderungsrate immer noch im genannten Zeitintervall gleich ist.

\( \frac{h(b)-h(a)}{b-a} \) = \( \frac{h(8)-h(6)}{8-6} \) = \( \frac{210 - 170}{2} \) = \( \frac{40}{2} \) = 20 \( \frac{m}{min} \)

40 \( \frac{m}{min} \)  ≠ 20 \( \frac{m}{min} \)

=> Angabe falsch

b) Angabe stimmt, sie Aufgabentext

,,Der Ballon fährt 6 min nach dem Start in 170m Höhe.": h(6) = 170 m

c) Da die mittlere Änderungsrate linear verläuft, ist die Geschwindigkeit im halben Intervall auch halb so groß.

=> 20 \( \frac{m}{min} \)

\( \frac{h(b)-h(a)}{b-a} \) = \( \frac{h(7)-h(6)}{7-6} \) = \( \frac{210 - 170}{1} \) = \( \frac{40}{1} \) = 40 \( \frac{m}{min} \)

=> Angabe falsch

d) Um den Prozess zu verinfachen, berechne ich einfach h(8)

\( \frac{h(b)-h(a)}{b-a} \) = \( \frac{h(8)-h(6)}{8-6} \)

\( \frac{h(t) - 170}{2} \) = 40 \( \frac{m}{min} \)     |*2

<=>          h(8) - 170 m = 80 \( \frac{m}{min} \)     |+170 m

<=>                      h(8)  = 250 m

=> Angabe richtig

e) h(10) = 330

Da der Intervall um 2 vergrößert wurde, kann man sagen, dass die mittlere Geschwindigkeit möglicherweise verdoppelt.

\( \frac{h(b)-h(a)}{b-a} \) = \( \frac{h(10)-h(6)}{10-6} \) = \( \frac{330 - 170}{4} \) =\ ( \frac{160}{4} \) = 40 \( \frac{m}{min} \)

80 \( \frac{m}{min} \) ≠ 40 \( \frac{m}{min} \)

=> Angabe falsch

f) Siehe Vorgehensweise bei c)

\( \frac{h(b)-h(a)}{b-a} \) = \( \frac{h(7)-h(6)}{7-6} \) = \( \frac{180 - 170}{1} \) =\ ( \frac{10}{1} \) = 10 \( \frac{m}{min} \)

10 \( \frac{m}{min} \) ≠ 20 \( \frac{m}{min} \)

=> Angabe falsch

Answer 1

Der Ballon fährt 6 min nach dem Start in 170m Höhe. Im Zeitintervall zwischen 6 min und 8 min steigt der Ballon mit der mittleren Geschwindigkeit 40 \( \frac{m}{min} \)  senkrecht nach oben. Ist die folgende Angabe richtig, falsch oder möglicherweise richtig?

h ( 6 ) = 170 m
Zwischen 6 und 8 steigt steigt der Ballon um 20 m/min

a) h(8) = 170 + 40
b) h(6) = 170
c) h(7) = 170 + 20
d) h(8) = 170 + 40 | identisch mit a.)
e) h(10) =  liegt nicht im beschrieben Intervall
f) h(7) = 170 + 20 | identisch mit c.)

Comments

Hallo georgborn,

vielen Dank für deine Lösungen, Ich woltle fragen, ob Du bei e) ,,möglicherweise richtig" als Antwort schreiben würdest, denn laut der folgenden Berechnung würde es möglicherweise falsch sein. Auch bei f) habe ich eine weitere Frage.

e) Bemerkung: Die Zeitangabe liegt nicht im vorgegebenen Intervall, aber wenn wir von der mittleren Geschwindigkeit vom vorherigen Intervall hervor gehen, merken wir, dass es möglicherweise falsch sogar sein würde:

h(10) = 170m + 80 m = 250 m

Da die Option ,,Möglicherweise richtig" enthalten ist, verwirrt mich die Lösung.

f) Da 180 m knapp zu den 190m sind, wollte ich fragen, ob die Lösung ,,möglicherweise richtig" oder ,,falsch" ist. Was würdest du da sagen?

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e.) h(10) =  liegt nicht im beschrieben
Intervall
Extrapoliert : 170 + 4 * 20

f) h(7) = 170 + 20 | identisch mit c.)

Das sind/waren meine beiden Antworten.

Was meinst du genau ?