Aufgabe: Die FUnktion h beschreibt die Höhe eines Ballons in Abhängigkeit von der Zeit t (t in Minuten nach dem Start, h(t) in Meter). Der Ballon fährt 6 min nach dem Start in 170m Höhe. Im Zeitintervall zwischen 6 min und 8 min steigt der Ballon mit der mittleren Geschwindigkeit 40 \( \frac{m}{min} \) senkrecht nach oben. Ist die folgende Angabe richtig, falsch oder möglicherweise richtig?
a) h(8) = 210 b) h(6) = 170 c) h(7) = 210 d) h(8) = 250 e) h(10) = 330 f) h(7) = 190
Problem/Ansatz: Mir ist die Aufgabe sehr wichtig, daher habe ich komplette Ansätze zu jeder Teilaufgabe geschrieben (Sorry für den langen Text). Wenn jemand auch einen Fehler in meinem Ansatz findet, bitte verbessern und melden.
a) Zur Beurteilung folgender Aufgabe, berehnet man die mittlere Änderungsrate mithilfe der Angaben und schaut dann, ob die mittlere Änderungsrate immer noch im genannten Zeitintervall gleich ist.
\( \frac{h(b)-h(a)}{b-a} \) = \( \frac{h(8)-h(6)}{8-6} \) = \( \frac{210 - 170}{2} \) = \( \frac{40}{2} \) = 20 \( \frac{m}{min} \)
40 \( \frac{m}{min} \) ≠ 20 \( \frac{m}{min} \)
=> Angabe falsch
b) Angabe stimmt, sie Aufgabentext
,,Der Ballon fährt 6 min nach dem Start in 170m Höhe.": h(6) = 170 m
c) Da die mittlere Änderungsrate linear verläuft, ist die Geschwindigkeit im halben Intervall auch halb so groß.
=> 20 \( \frac{m}{min} \)
\( \frac{h(b)-h(a)}{b-a} \) = \( \frac{h(7)-h(6)}{7-6} \) = \( \frac{210 - 170}{1} \) = \( \frac{40}{1} \) = 40 \( \frac{m}{min} \)
=> Angabe falsch
d) Um den Prozess zu verinfachen, berechne ich einfach h(8)
\( \frac{h(b)-h(a)}{b-a} \) = \( \frac{h(8)-h(6)}{8-6} \)
\( \frac{h(t) - 170}{2} \) = 40 \( \frac{m}{min} \) |*2
<=> h(8) - 170 m = 80 \( \frac{m}{min} \) |+170 m
<=> h(8) = 250 m
=> Angabe richtig
e) h(10) = 330
Da der Intervall um 2 vergrößert wurde, kann man sagen, dass die mittlere Geschwindigkeit möglicherweise verdoppelt.
\( \frac{h(b)-h(a)}{b-a} \) = \( \frac{h(10)-h(6)}{10-6} \) = \( \frac{330 - 170}{4} \) =\ ( \frac{160}{4} \) = 40 \( \frac{m}{min} \)
80 \( \frac{m}{min} \) ≠ 40 \( \frac{m}{min} \)
=> Angabe falsch
f) Siehe Vorgehensweise bei c)
\( \frac{h(b)-h(a)}{b-a} \) = \( \frac{h(7)-h(6)}{7-6} \) = \( \frac{180 - 170}{1} \) =\ ( \frac{10}{1} \) = 10 \( \frac{m}{min} \)
10 \( \frac{m}{min} \) ≠ 20 \( \frac{m}{min} \)
=> Angabe falsch