Gleichung umstellen Euler mit Exponent

Question

Aufgabe:

Wie kann ich diese Gleichung nach E umstellen?

\( e^{\frac{E}{k_{B} T}}+e^{\frac{E+3}{k_{B} T}}=1 \)

e ist Eulerzahl.

Answer 1

Aloha :)

$$\left.e^{\frac{E}{K_BT}}+e^{\frac{E+3}{K_BT}}=1\quad\right|a^{b+c}=a^b\cdot a^c$$$$\left.e^{\frac{E}{K_BT}}+e^{\frac{E}{K_BT}}\cdot e^{\frac{3}{K_BT}}=1\quad\right|\text{links ausklammern}$$$$\left.e^{\frac{E}{K_BT}}\left(1+e^{\frac{3}{K_BT}}\right)=1\quad\right|:\left(1+e^{\frac{3}{K_BT}}\right)$$$$\left.e^{\frac{E}{K_BT}}=\frac{1}{1+e^{\frac{3}{K_BT}}}\quad\right|\ln(\cdots)$$$$\left.\frac{E}{K_BT}=\ln\left(\frac{1}{1+e^{\frac{3}{K_BT}}}\right)=\ln(1)-\ln\left(1+e^{\frac{3}{K_BT}}\right)\quad\right|\cdot K_BT$$$$\left.E=-K_BT\ln\left(1+e^{\frac{3}{K_BT}}\right)\quad\right.$$

Answer 2

Klammere der ersten Summanden aus der Summe aus.

Es gilt \(a^b+a^{b+c}=a^b(1+a^c)\)