Zeigen Sie: dass die Abbildung f genau dann linear ist, wenn diese beiden Bedingungen erfüllt sind.

Question

Aufgabe:

Seien V und W Vektorräume über Q und sei f : V → W eine
Abbildung. Zeigen Sie:
(1) Die Abbildung f ist genau dann linear, wenn die folgenden beiden Bedingungen
erfüllt sind:
(a) f(av₁ + (1 − a)v₂) = af(v₁) + (1 − a)f(v₂) für alle a ∈ K, v₁, v₂ ∈ V ,
(b) f(0) = 0

Problem/Ansatz:

Das sind meine Ideen und Ansätze

Wir betrachten folgende Abbildung
f : V→  W f \( \begin{pmatrix} v1\\v2\end{pmatrix} \) :=av₁+(1-a)v₂
und zeigen dass diese linear ist.


Beweis:

Zunächst sind V und W Vektorräume über dem Körper Q .
Beweisschritt: Additivität nachweisen
1. Additivität ∀ v,w ∈V : f(v+w)=f(v)+f(w)
Seien die Vektoren \( \begin{pmatrix} v1\\v2\end{pmatrix} \) ; \( \begin{pmatrix} w1\\w2\end{pmatrix} \) ∈ V beliebig gewählt.

f \( \begin{pmatrix} v1\\v2\end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} w1\\w2\end{pmatrix} \) = f \( \begin{pmatrix} v1+v2\\w1+w2\end{pmatrix} \)= (a*(v₁+w₁)+(1-a)*(v₂+w₁))
=av₁+aw₁+(1-a)v₂+(1-a)w₂=(a*v1+(1-a)v₂)+((a*w₁+(1-a)w₂=f(v)+f(w)
Damit ist die Additivität bewiesen

2.Homogenität ∀ v ∈  V ∀ λ ∈ K= f(λ•v)=λ•f(v)

f(λ*v)=f*\( \begin{pmatrix} λ• v1\\ λ•v2\end{pmatrix} \) =λ•a•v₁+(1-a)•λ•v₂=λ•(a•v₁+(1-a)v₂)
=λ*f\( \begin{pmatrix} v1\\v2\end{pmatrix} \)
Damit ist die Homogenität bewiesen.
Damit ist gezeigt dass f tatsächlich linear ist.

b) Ich nehme an es ist f(0)≠(0) und f sei dennoch linear. f(0)=f((av₁+(1-a)v₂)-(av₁+(1-a)v₂))=f(av₁+(1-a)v₂)-f(av₁+(1-a)v₂)=0 und somit kann nicht f(0)≠ 0 für f gelten wenn gleichsam auch f(av₁ + (1-a)v₂) = a*f(v₁)+(1-a)*f(v₂) gilt.

Wegen den Hinweisen von meinem Professor, bin ich jetzt aber total durcheinander gekommen und wollte wissen ob ich Fehler gemacht habe.

(1). Es gibt ja schon einen Hinweis, wie Sie zweckmäßigerweise beginnen sollten.
gemeint ist der hier ,,Hinweis zu (1). Zeigen Sie zuerst, dass f(av) = af(v) für alle a ∈ K, v ∈ V´´
(Wählen Sie dazu den Vektor v₂ in Bedingung (a) geschickt.) Danach kann es vielleicht helfen, sich Bedingung (a) im Vektorraum R² geometrisch zu veranschaulichen. Was ist, für Elemente v1≠v2∈R², die Menge {av₁+(1−a)v₂; a∈R}? Am Ende müssen Sie natürlich die "Geometrie" zurückübersetzen in einen allgemeinen Beweis.

Bin für jede Hilfe unglaublich dankbar

Comments

Bin mir wegen den Hinweisen nicht sicher ob ich die Aufgabe richtig verstanden habe.

Answer 1

Hallo,

mir fallen hier zwei grundsätzliche Sachen in deiner Idee auf:

1.) Du übersiehst, dass du eine Äquivalenzaussage zeigen musst:

Abbildung f ist genau dann linear, wenn die...

Im Klartext: Zeige,

1.1) dass aus der Linearität von \(f\) die Eigenschaften \((a)\) und \((b)\) folgen und

1.2) dass aus den Eigenschaften \((a)\) und \((b)\), die an \(f\) gestellt sind, die Linearität von \(f\) folgt.

2.) \(f: V\to W\) kann alles mögliche sein, weshalb du hier nicht \(f\) explizit hinschreiben kannst, da du sonst nur einen Spezialfall abdeckst. Bleibe also allgemein (womit ich aber nicht geometrische Interpretationen hier in den Hintergrund rücken lassen will).

Bei 1.2) ist es hilfreich zunächst die Homogenität zu zeigen. Es gilt ja nach Voraussetzung für alle \(a\in \mathbb{K}\) und alle \(v_1,v_2\in V\) die Gleichheit

\(f(a\cdot v_1 + (1 − a)\cdot v_2) = a\cdot f(v_1) + (1 − a)\cdot f(v_2)\).  (***)

Du kannst hier also einen Vektor speziell wählen, denn die Homogenität ist ja nur von dieser Gestalt definiert: \(\forall \gamma\in \mathbb{K},\forall x\in V: f(\gamma\cdot x)=\gamma\cdot f(x)\). \(x\) könnte ja auch als Summe zweier Vektoren vorkommen, zb \(x=v_1+v_2\) usw...

Für die Additivität genügt es, sich in (***) ein passendes \(a\) zu wählen.

Comments

1.1) dass aus der Linearität von \(f\) die Eigenschaften \((a)\) und \((b)\) folgen und

soll ich hier also nur eine Definition schreiben also das f homogen als auch additiv sein muss um linear zu sein.

1.2) dass aus den Eigenschaften \((a)\) und \((b)\), die an \(f\) gestellt sind, die Linearität von \(f\) folgt.

und es hier dann mit der gegeben Funktion f(av1 + (1 − a)v2) anwenden?

Für die Additivität genügt es, sich in (***) ein passendes \(a\) zu wählen.
wie soll ich hier das a wählen ?

meinst du vielleicht das die Funktion eigentlich so ausssieht
f(v1+1-v2)
Additivität ich wähle ein a =\( \begin{pmatrix} a1\\a2\end{pmatrix} \)
f\( \begin{pmatrix} v1+v2\\a1+a2\end{pmatrix} \)

Du kannst hier also einen Vektor speziell wählen, denn die Homogenität ist ja nur von dieser Gestalt definiert: \(\forall \gamma\in \mathbb{K},\forall x\in V: f(\gamma\cdot x)=\gamma\cdot f(x)\). \(x\) könnte ja auch als Summe zweier Vektoren vorkommen, zb \(x=v_1+v_2\) usw...

ich selbst habe ja λ genommen, kann ich dass dann wieder machen wenn ich es diesmal hier rein setzte f(v1+1-v2)?
ich verstehe nicht wie ich ein a einsetzten soll wenn es ja in der Aufgabe bereits gemacht wurde


und wird mit f(0)=0 dass
bei f0v=0w
Der Nullvektor von V also auf denn Nullvektor von W abgebildet wird?

Schon mal danke im voraus ;)

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soll ich hier also nur eine Definition schreiben also das f homogen als auch additiv sein muss um linear zu sein.

Das ist ja gerade Linearität, die bei 1.1) vorausgesetzt wird. Nutze diese Eigenschaften, um (a) und (b) zu zeigen.

und es hier dann mit der gegeben Funktion f(av1 + (1 − a)v2) anwenden?

Das ist Eigeschaft (a), die f bei 1.2) erfüllt. Du musst diese Eigenschaft passend nutzen.

f\( \begin{pmatrix} v1+v2\\a1+a2\end{pmatrix} \)

Nein. Du weißt nur, das f von V nach W abbildet, ohne deren genaue Abbildungsvorschrift zu kennen. Du weißt aber, dass dieses f die Eigenschaften (a) und (b) erfüllt. Du bist hier in beliebigen Vektorräumen unterwegs, bei denen nicht immer ein Vektor als ,,Spaltenvektor" repräsentiert wird. V kann ja auch zb der Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner gleich n sein, usw....

bei f(0v)=0w
Der Nullvektor von V also auf denn Nullvektor von W abgebildet wird?

Richtig.

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Also berechnen muss ich nicht?

Ich soll nur zeigen dass diese Bedingungen erfüllt werden aber wie soll ich das machen wenn ich keine Funktion benutzen kann ich muss das doch beweisen.

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Das ist ja hier gerade die Kunst. Betrachte eine Abbildung \(f:V\to W\), die (a) und (b) erfüllt. Wähle nun \(v_2=0\) aber \(v_1\in V\) und \(a\in \mathbb{Q}\) beliebig. Nutze jetzt (***).