Zeigen Sie, dass eine Abbildung dieser Form genau dann linear ist, wenn b der Nullvektor

Question

Aufgabe:

Sei V ein K-Vektorraum. Betrachten Sie Abbildungen der Form f : V → V, x → mx + b
mit m ∈ K, b ∈ V .
Zeigen Sie, dass eine Abbildung dieser Form genau dann linear ist, wenn b der Nullvektor
ist.

Problem/Ansatz

Ich weiß, dass die Funktion im allgemeinen keine lineare Abbildung im Sinne der linearen Algebra ist.

Aber mann kann beweisen, dass die proportionale lineare Funktion f(x)=kx+d, mit d=0 eine lineare Funktion im Sinne der linearen Algebra ist. Das kann mir vielleicht helfen. Ich weiß nicht wie es weiter geht.

Ich hoffe, dass jemand mir helfen kann.

Answer 1

f : V → V, x → mx + b linear ==>  Für alle x,y ∈ V gilt

                f(x+y) = f(x) + f(y)

<=>     m(x+y)+b = mx+b + my+b

<=>  mx + my + b = mx+b + my+b

 <=>              b = 2b

<=>                 b=0

umgekehrt: wenn b=0 dann ist

              f(x) = m*x und da gilt

       1. f(x+y)= f(x)+f(y) weil m(x+y)=mx +my und

       2. f(k*x) = k*f(x) weil m*(k*x) =  k*mx

Comments

Danke sehr! Jetzt habe ich alles verstanden!:)