Zeigen Sie: f ist genau dann linear, wenn f ein Untervektorraum von V×W ist.

Question

Seien V, W zwei K-Vektorräume und f : V → W eine Funktion. Zeigen Sie: f ist genau dann linear, wenn f ein Untervektorraum von V×W ist.

Answer 1

Es ist  f = { (x,f(x)) | x∈V} . Also  f ist linear ==>

                  1. f(0)= 0   also (0,0) ∈ f = { (x,f(x)) | x∈V}

                  2. Wenn (a,f(a)) und (b,f(b)) ∈ f dann wegen lin. f(a+b) = f(a)+f(b),

                        also  (a+b ,  f(a)+f(b) ) ∈ f , also f abgeschlossen gegenüber +

                 3. Wenn x∈K und (a,f(a)) ∈ f dann wegen lin. f(xa)=xf(a) 
                        also (xa , xf(a) ) ∈ f , also f abgeschlossen gegenüber

                      Multiplikation mit Elementen von K.

Insgesamt also f ist ein Untervektorraum von V×W.

Umgekehrt entsprechend.