Zeigen Sie, dass φ genau dann linear ist, wenn der Graph ein Teilraum von V × W ist.

Question

Seien \(V\) und \(W\) zwei Vektorräume über einem Körper \(\mathbb{K}\) und \(\varphi:\ V \to W\) eine Abbildung. Zeigen Sie, dass \(\varphi\) genau dann linear ist, wenn der Graph
\(G_\varphi=\{(v,\varphi (v))\in V\times W:\ v \in V\}\) ein linearer Teilraum von \(V \times W\) ist.

Ich weiß, dass ich beide Bedingungen

(i) \(\varphi\) ist linear und

(ii) \(G_\varphi=\{(v,\varphi (v))\in V\times W:\ v \in V\}\) ist ein linearer Teilraum von \(V \times W\).

von (i) => (ii) und (ii) => (i) beweisen muss.

Bei (ii) => (i) habe ich angefangen zu beweisen, dass der Graph linear ist mit den beiden Bedingungen für Linearität. Daran bin ich allerdings gescheitert, so wie bei dem Rest.

:)

Answer 1

Hallo, betrachte beliebige \(v,w\in V\) und beliebige \(\alpha, \beta\in \mathbb{K}\). Nach Voraussetzung ist \(G_\varphi\) ein Untervektorraum von \(V \times W\).

Also ist

\((\alpha\cdot v+\beta\cdot w, \alpha\cdot \varphi(v)+\beta\cdot \varphi(w))=\alpha \cdot (v,\varphi(v))+\beta\cdot (w,\varphi(w))\in G_\varphi\). Nutze nun die Information, dass \(G_\varphi\) ein Untervektorraum ist.