φ ist genau dann C-linear, wenn φ(iv) = i · φ(v)

Question

Seien V, W C-Vektorräume und φ: V → W eine R-lineare Abbildung

und zz. ist, dass φ  C-linear ist, falls φ(iv) = i · φ(v)  gilt.

Ich weiß was C-linear bedeutet  und verstehe auch wieso das gelten muss ( da C-linearität wahrscheinlich nur an dieser stelle scheitern kann).

Jedoch weiß ich nicht wie man dies zeigen kann.

Würde mich über Tipps freuen :)

Answer 1

Sei φ r-linear und es gelte φ(i*v) = i*φ(v) für alle v aus V.

Sei z=a+bi   aus C. Dann gilt  φ(z*v) = φ( (a+bi)*v) = φ( a*v + i*b*v)

= φ( a*v) +  φ( i*b*v)  [ weil = φ  R-linear ist ] 

=   φ( a*v) +  i φ( b*v)    nach Vor.

=    a*φ( v) +  i *b*φ(v)    [ weil = φ  R-linear ist ] 

= ( a + bi ) * φ(v)  .    Also ist  φ   C-linear.

Umgekehrt:

Wenn  φ   C-linear ist , dann gilt φ(i*v) = i*φ(v)

für alle v aus V.