a) ist wahr. Wenn z.B. \( x_n = \sum\limits_{i=1}^{ n-1} a_ix_i \) gilt, dann auch \( h(x_n) = \sum\limits_{i=1}^{ n-1} a_ih(x_i) \)
b) ist falsch. Gegenbeispiel der 0-Homomorphismus.
c) ist falsch. Gegenbeispiel der 0-Homomorphismus und x1, . . . , xn Basis von V .
d) ist wahr. Seien x1, . . . , xn ∈ V und h(x1), . . . , h(xn) ∈ W linear unabhängig
Und seine a1,...,an ∈ K mit \( \sum\limits_{i=1}^{ n-1} a_ix_i = 0 \)
Wegen h(0)=0 folgt \( h( \sum\limits_{i=1}^{ n-1} a_ix_i)= 0 \)
wegen Hom. \( \sum\limits_{i=1}^{ n-1} a_i h(x_i)= 0 \)
wegen h(x1), . . . , h(xn) linear unabhängig folgt ai=0 für alle i∈{1,...,n}.
also x1, . . . , xn lin. unabh.