Homomorphismus und lineare Abhängigkeit

Question

V und W seien K-Vektorräume und h: V → W ein Homomorphismus. Zeigen oder widerlegen Sie:
a) Wenn x₁, . . . , x_n ∈ V linear abhängig sind, dann auch h(x₁), . . . , h(x_n) ∈ W.
b) Wenn x₁, . . . , x_n ∈ V linear unabhängig sind, dann auch h(x₁), . . . , h(x_n) ∈ W.
c) Wenn h(x₁), . . . , h(x_n) ∈ W linear abhängig sind, dann auch x₁, . . . , x_n ∈ V .
d) Wenn h(x₁), . . . , h(x_n) ∈ W linear unabhängig sind, dann auch x₁, . . . , x_n ∈ V .

Problem/Ansatz:

Ich glaube, a) und d) sind falsch und b) und c) stimmen. Ist das richtig? Und wie kann man das beweisen?

Answer 1

a) ist wahr. Wenn z.B. \( x_n = \sum\limits_{i=1}^{  n-1} a_ix_i \) gilt, dann auch \( h(x_n) = \sum\limits_{i=1}^{  n-1} a_ih(x_i) \)

b) ist falsch. Gegenbeispiel der 0-Homomorphismus.

c) ist falsch. Gegenbeispiel der 0-Homomorphismus und  x1, . . . , xn Basis von  V .

d) ist wahr. Seien x1, . . . , xn ∈ V und h(x1), . . . , h(xn) ∈ W linear unabhängig

Und seine a1,...,an ∈ K mit  \( \sum\limits_{i=1}^{  n-1} a_ix_i = 0 \)

Wegen h(0)=0 folgt \( h( \sum\limits_{i=1}^{  n-1} a_ix_i)= 0 \)

wegen Hom.  \(  \sum\limits_{i=1}^{  n-1} a_i h(x_i)= 0 \)

wegen h(x1), . . . , h(xn)  linear unabhängig folgt a_i=0 für alle i∈{1,...,n}.

              also x1, . . . , xn lin. unabh.