Also erst mal sollte man sich die Koordinatentransformation anschauen.
Man kann sich überlegen, dass die Punkte in A in baryzentrischen Koordinaten durch $$ (a ~:~ b ~:~ 1 - a - b) $$ gegeben sind, wobei \( 0 \le a,~b \le 1 \) und \( a+b\le1 \).
Sind \( r_1 = (x_1,y_1) \), \( r_2 = (x_2, y_2) \) und \( r_3 = (x_3, y_3) \) die kartesischen Koordinaten der Eckpunkte des Dreiecks, so hat der Punkt \( (a ~:~ b ~:~ 1 - a - b) \) die kartesischen Koodinaten $$ (x,y) = a r_1 + b r_2 + (1-a-b) r_3 $$ Wir betrachten also für $$ \triangle ~:= \{(a,b) ~|~ 0\le a \le 1,~0\le b \le 1 - a\} $$ die Abbildung $$ \Phi ~:~ \triangle \to A,~(a,b) \mapsto a r_1 + b r_2 + (1-a-b) r_3 $$
dann ist das bestimmt ein Diffeomorphismus. Und der Rest ist jetzt einfach Transformationssatz $$ \int_A f(\mathbf r) ~\textrm{d}\mathbf r = \int_\triangle f(ar_1 + br_2 + (1-a-b)r_3) \left| \det J_\Phi(a,b) \right|~\textrm{d}a~\textrm{d}b $$ Es fehlt noch der Betrag der Funktionaldeterminante: $$ \begin{aligned} \left| \det J_\Phi(a,b) \right| &= \left| \det \begin{pmatrix} x_1 - x_3 & x_2 - x_3 \\ y_1 - y_ 3& y_2 - y_3\end{pmatrix} \right| \\&= \left| \det \begin{pmatrix} | & | \\ r_1 - r_3 & r_2 - r_3\\ | & | \end{pmatrix} \right| \end{aligned} $$
Das entspricht gerade dem Flächeninhalt des von \( r_1 - r_3 \) und \( r_2-r_3 \) aufgespannten Spans, das ist gerade 2mal der Flächeninhalt des Dreiecks.
Beantwortet das deine Frage? Ob das jetzt aber wirklich die Integration vereinfacht?
