Stimmt diese Rechnung? Differentialgleichung und Ableitung

Question

Folgender Ausschnitt einer Aufgabe:

Formel: E(t) = 5 000 * t²

E'(t) = 10.000t

Frage: Zu welchem Zeitpunkt t € [0; 10] nimmt E(t) am schnellsten zu?

(Gefragt wird hier die Geschwindigkeit)

Meine Antwort:

E‘(0) = 10.000 ∙ 0 = 0 
E‘(10) = 10.000 ∙ 10 = 100.000

(100.000-0)/(10-0)= 10
Zum Zeitpunkt t = 10 nimmt E(t) am schnellsten zu.

Stimmt das so?

Comments

Von einer Zunahme der Energie zum Zeitpunkt t = 10 s zu sprechen ist sinnlos, da keine Zeiten
t > 10 s betrachtet werden.

Es gibt also keinen Zeitpunkt t in [0 ; 10], zu dem E(t) am schnellsten zunimmt.

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Hier die ganze Angabe:

2.58 Wenn ein Auto gegen eine Mauer fährt, hängt die Wucht des Aufpralls von der kinetischen Energie des Autos ab. Beschleunigt das Auto gleichmäßig, so wächst seine kinetische Energie mit dem Quadrat der Zeit. Für die kinetische Energie eines Autos zum Zeitpunkt t gelte:
$\mathrm{E}(\mathrm{t})=5000 \cdot \mathrm{t}^{2}(\mathrm{t}$ in Sekunden, $\mathrm{E}(\mathrm{t})$ in Joule $)$
1) Berechne die Zunahme der kinetischen Energie in den Zeitintervallen $[0 ; 5]$ und $[5 ; 10] !$ In welchen dieser beiden Zeitintervalle ist die Zunahme größer?
2) Berechne die mittlere Zunahme der kinetischen Energie in den unter 1 ) angegebenen Zeitintervallen! In welchem der beiden Zeitintervalle nimmt die Energie im Mittel stärker zu?
3) Gib eine Formel für die Zunahmegeschwindigkeit E'(t) der kinetischen Energie zum Zeitpunkt $t$ an! Zu welchem Zeitpunkt $t \in[0 ; 10]$ nimmt $E$ (t) am schnellsten zu?
4) Wie groß ist die Zunahmegeschwindigkeit der kinetischen Energie zu Beginn, nach $5 \mathrm{~s}$ bzw. nach $10 \mathrm{~s}$ ?

Vielleicht habe ich es falsch ausgedrückt.. Alle anderen Beispiele habe ich gelöst und sie stimmen auch mit den Lösungen überein, ich weiß nur nicht, auf welche Weise ich auf die Lösung bei 3) komme. Laut Lösungen ist es t = 10

Answer 1

Hallo Peter,

Ich sehe keine Anhaltspunkte im Text dafür, dass die Beschleunigungsphase nach 10 s endet.
Wenn das Auto weiterhin beschleunigt wird, nimmt E(t) weiterhin streng monoton zu und die Zunahmegeschwindigkeit ist in  [0s , 10s]  für t =10s maximal. Das ist allerdings ein Randmaximum (der streng monotonen Funktion E(t) )  für dieses Zeitintervall und hat mit E'(t) = 0  nichts zu tun.

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(100000-0)/(10-0) = 10 ist nicht nur sinnlos, es ist auch rechnerisch falsch.

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Nachtrag:  

Habe mal nachgerechnet, ob die nach 10 Sekunden erreichte Geschwindigkeit die Vermutung rechfertigt, dass keine weitere Beschleunigung erfolgt:

Die Masse eines Autos liegt zwischen 1000 kg und 1800 kg

[https://www.meinauto.de/lp-wie-schwer-ist-ein-auto#:~:text=Ein%20nor…]

Das ergibt hier (bei 1000 kg) höchstens v ≈ 114 km/h

Gruß Wolfgang

Comments

Du hast Recht, ich hatte nach 10s die Mauer und damit [0 ; 10] als Definitionsbereich für t gesehen.