$$e^{iz}=cos(z)+isin(z)$$$$(e^{iz})^α=e^{iαz}$$
$$e^{iφ}=cos(φ)+isin(φ)$$$$(e^{iφ})^2=e^{i2φ}$$$$(e^{iφ})^2=(cos(φ)+isin(φ))^2=$$$$cos(φ)^2-sin(φ)^2+i2sin(φ)cos(φ)$$$$=cos(2φ)+isin(2φ)=e^{i2φ}$$
Wenn du jetzt die reellen und imaginären Anteile vergleichst, dann stehen da die bekannten trigonometrischen Funktionen.
$$cos(φ)^2-sin(φ)^2=cos(2φ)$$$$2sin(φ)cos(φ)=sin(2φ)$$