cos(3φ) als Polynom in cos(φ) ausdrücken

Question

Aufgabe:

Benutzen Sie den Satz von de Moivre und die Binominalentwicklung um cos(3φ) und sin(3φ) als Polynome in cos(φ) und sin(φ) auszudrücken.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe, dass ich über de Moivre zum binomischen Lehrsatz und dadrüber zum Polynom kommen soll, jedoch verstehe ich nicht, wie ich den Satz von de Moivre überhaupt erst anwenden darf.

cos(nφ) +i sin (nφ) ≠ cos(3φ)

Zwar gilt:
cos(3φ) = cos(3φ) + i sin(3φ) - i sin(3φ) = (cos φ + i sin φ)³ - i sin(3φ)
Aber so werde ich das -i sin(3φ) nicht los und habe kein Polynom in cos(φ) und sin(φ).

Answer 1

Für n=3 lautet der Satz$$\quad\cos(3x)+\mathrm i\sin(3x)=\big(\cos(x)+\mathrm i\sin(x)\big)^3\\=\cos^3(x)+3\mathrm i\cos^2(x)\sin(x)-3\cos(x)\sin^2(x)-\mathrm i\sin^3(x)\\=\Big(\cos^3(x)-3\cos(x)\cdot\big(1-\cos^2(x)\big)\Big)+\mathrm i\Big(3\big(1-\sin^2(x)\big)\sin(x)-\sin^3(x)\Big)\\=\Big(4\cos^3(x)-3\cos(x)\Big)+\mathrm i\Big(3\sin(x)-4\sin^3(x)\Big).$$Nun Real- und Imaginärteile vergleichen.

Comments

Denn Satz für n=3 schaff ich auch selber ☺, aber das hilft mir ja trotzdem nicht cos(3φ) darzustellen.

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Warum nicht?

\(\quad\cos(3x)+\mathrm i\sin(3x)\)

hat den Realteil \(\quad\cos(3x)\) und (für die Frage unwichtig) den Imaginärteil \(\quad\sin(3x)\).

Nach ein paar Zeilen Umformungen wurde daraus

\(\quad \Big(4\cos^3(x)-3\cos(x)\Big)+\mathrm i\Big(3\sin(x)-4\sin^3(x)\Big)\)

mit dem Realteil \(\quad \Big(4\cos^3(x)-3\cos(x)\Big)\).

Der Vergleich der Realteile (für die beiden identischen komplexen Zahlen) liefert also

\(\quad \cos(3x)= \Big(4\cos^3(x)-3\cos(x)\Big)\).

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Achso, ich wusste nicht, dass man das so machen darf!

Vielen Dank!