Cos und Sinus durch Identitäten ausdrücken

Question

Aufgabe:

Benutzen Sie die Identitäten

\( e^{i z}=\cos (z)+i \sin (z) \quad\left(e^{i z}\right)^{\alpha}=e^{i \alpha z} \)
\( \mathrm{um} \cos (2 \varphi) \) und \( \sin (2 \phi) \) durch \( \cos (\phi) \) und \( \sin (\phi) \) auszudrücken.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, was gemeint ist.

Comments

Ich denke, dass du dich für eine Winkelbezeichnung entscheiden solltest.

φ oder Φ wenn beide verwendet werden, könnte es zu Irritationen kommen.

Answer 1

Hallo,

es ist \(\cos(2\varphi)=e^{i2\varphi}-i\sin(2\varphi)\), wobei \(e^{i2\varphi}=(e^{i\varphi})^2\). Also:$$\cos(2\varphi)=(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi))^2-i\sin(2\varphi)$$

so musst dich weiter voranarbeiten.

Answer 2

$$e^{iz}=cos(z)+isin(z)$$$$(e^{iz})^α=e^{iαz}$$ 

$$e^{iφ}=cos(φ)+isin(φ)$$$$(e^{iφ})^2=e^{i2φ}$$$$(e^{iφ})^2=(cos(φ)+isin(φ))^2=$$$$cos(φ)^2-sin(φ)^2+i2sin(φ)cos(φ)$$$$=cos(2φ)+isin(2φ)=e^{i2φ}$$

Wenn du jetzt die reellen und imaginären Anteile vergleichst, dann stehen da die bekannten trigonometrischen Funktionen.

$$cos(φ)^2-sin(φ)^2=cos(2φ)$$$$2sin(φ)cos(φ)=sin(2φ)$$