Erzeugendensystem: Deuten Sie den Untervektorraum U geometrisch.

Question

Aufgabe:

Wir betrachten das Erzeugendensystem

$$ E=\left\{\left(\begin{array}{r} 1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{r} 0 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{r} -2 \\ -4 \\ 6 \end{array}\right),\left(\begin{array}{r} 3 \\ 4 \\ -7 \end{array}\right)\right\} $$

(i) \( E \) erzeugt einen Untervektorraum \( U \) des \( \mathbb{R}^{3} \). Reduzieren Sie \( E \) zu einer Basis \( B \) des Untervektorraumes \( U \).

(ii) Deuten Sie den Untervektorraum \( U \) geometrisch.

(iii) Ergänzen Sie Ihre Basis \( B \) aus Teil (i) zu einer Basis des \( \mathbb{R}^{3} \). Weisen Sie nach, dass es sich bei Ihrer Basis tatsächlich um eine Basis des \( \mathbb{R}^{3} \) handelt.

Answer 1

Hallo,

(i)

⎡  1   0   -2   3 ⎤
⎢ -2  -4  -4    4 ⎥  = A
⎣  1  -2    6  -7 ⎦

Mit dem Gauß-Algorithmus erhält man (ohne Spaltenvertauschungen)

⎡ 1   0  -2    3 ⎤
⎢ 0   2  -8  10 ⎥
⎣ 0   0   0    0 ⎦

Rang der Matrix  ist 2 (= Maximalzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren).

Die beiden ersten Spaltenvektoren von A sind linear unabhängig. Sie bilden deshalb eine Basis von E (maximale linear unabhängige Teilmenge des Erzeugendensystems E)

(ii)

Streicht man in der Ausgangsmatrix die Spaltenvektoren 3 und 4  und setzt als dritten Spaltenvektor [0 , 0, 1]^T ein,

⎡   1    0  -0  ⎤
⎢ - 2  -4    0  ⎥
⎣   1  -2    1  ⎦

erhält man mit Gauß

⎡ 1  0  0 ⎤             was man nicht einmal neu rechnen muss (driite Spalte ändert sich nicht) !
⎢ 0  2  0 ⎥
⎣ 0  0  1 ⎦

Die 3 Spaltenvektoren stellen eine Basis von ℝ³ dar.

Gruß Wolfgang

Answer 2

Aloha :)

Wir rechenn die linearen Abhängigkeiten aus dem Erzeugendensystem \(E\) mittels elementarer Spaltenoperationen weitestgehend heraus:

$$\begin{array}{rrrr} & :\,2 & +2S_1 & -3S_1\\\hline1 & 0 & -2 & 3\\-2 & 2 & -4 & 4\\1 & -2 & 6 & -7\end{array}\to\begin{array}{rrrr}+S_2 & & +8S_2 & -10S_2\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\-2 & 1 & -8 & 10\\1 & -1 & 8 & -10\end{array}\to\begin{array}{rrrr} \vec b_1 & \vec b_2 &  & \\\hline1 & 0 & 0 & 0\\-1 & 1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0\end{array}$$

Wir haben eine Basis bestehend für \(E\) bestehend aus 2 Vektoren gefunden. Das Erzeugendensystem hat daher 2 Freiheitsgerade, ist also eine Ebene im \(\mathbb R^3\).$$E:\,\vec x=s\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\quad;\quad s,t\in\mathbb R$$

Eine sinnvolle Ergänzung der beiden Vektoren \(\vec b_1\) und \(\vec b_2\) zu einer Basis des \(\mathbb R^3\) wäre zum Beispiel der Vektor \(c=(0|0|1)^T\), weil wir die Basis dann auf die Standardbasis des \(\mathbb R^3\) transformieren können:

$$\begin{array}{rrr} \vec b_1 & \vec b_2 & \vec c \\\hline1 & 0 & 0 \\-1 & 1 & 0 \\0 & -1 & 1\end{array}\to\begin{array}{rrr}   & +S_3 &  \\\hline1 & 0 & 0 \\-1 & 1 & 0 \\0 & -1 & 1\end{array}\to\begin{array}{rrr} +S_2 & &  \\\hline1 & 0 & 0 \\-1 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\to\begin{array}{rrr} \vec e_1 & \vec e_2 & \vec e_3 \\\hline1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}$$