(i) Verifizieren Sie, dass U ⊂ Mat2(C) ein Untervektorraum ist, indem Sie
die Teilmenge als Kern einer lineare Abbildung deuten.
Betrachte die Abb f : Mat2(C) → Mat2(C)
X → X*A - A*X
(ii) Berechnen Sie eine Basis für den Vektorraum U.
Basis von U: Sei X ∈ Mat2(C) mit X = a b
c d
und X*A = A*X ==> i*a + c = a*i - 2b und
-2a-ci = i*c - 2d und
i*b + d = a - bi und
-2b - id = c - i*d
also
c = -2b und -2a - 2ci + 2d = 0 und 2ib + d - a = 0 und c = - 2b
also c=-2b in die 2. und 3. einsetzen gibt
-2a -4bi + 2d = 0 und 2ib + d - a = 0
==> a + 2bi + d = 0 und -a + 2ib + d = 0
==> a=0 und d = -2ib und (s.o.) c = -2b
Also sind alle Lösungen
a=0 und b beliebig und d = -2ib und c = -2b , also
sehen die Matrizen im kern so aus
0 b
-2b -2ib
Eine Basis von U ist also z.B. die Matrix
0 1
-2 -2i