Verifizieren, dass U ⊂ Mat2(C) ein Untervektorraum ist, indem Sie die Teilmenge als Kern einer lineare Abbildung deuten.

Question

Wir betrachten die komplexe Matrix

$$A = \left( \begin{array} { c c } { i } & { 1 } \\ { - 2 } & { - i } \end{array} \right) \in \operatorname { Mat } _ { 2 } ( \mathbb { C } )$$

Sei U ⊂ Mat2(C) die Menge aller Matrizen B, welche mit A kommutieren.

(i) Verifizieren Sie, dass U ⊂ Mat2(C) ein Untervektorraum ist, indem Sie die Teilmenge als Kern einer lineare Abbildung deuten.

(ii) Berechnen Sie eine Basis für den Vektorraum  U. 

Answer 1

(i) Verifizieren Sie, dass U ⊂ Mat2(C) ein Untervektorraum ist, indem Sie
die Teilmenge als Kern einer lineare Abbildung deuten.

Betrachte die Abb  f : Mat₂(C) →  Mat₂(C)

                                             X → X*A - A*X
(ii) Berechnen Sie eine Basis für den Vektorraum  U.

Basis von U:  Sei X ∈ Mat₂(C)  mit  X = a   b
                                                               c   d

und X*A = A*X ==>   i*a + c = a*i - 2b   und 
                                 -2a-ci =     i*c - 2d  und

                                 i*b + d = a - bi     und

                                 -2b - id = c - i*d

also

c = -2b und -2a - 2ci + 2d = 0  und 2ib + d - a = 0 und c = - 2b

also c=-2b in die 2. und 3. einsetzen gibt

      -2a -4bi + 2d = 0   und   2ib + d - a = 0

==>  a + 2bi + d = 0   und  -a + 2ib + d = 0

==>    a=0   und   d = -2ib und (s.o.)  c = -2b

Also sind alle Lösungen

a=0  und b beliebig und  d = -2ib und  c = -2b , also

sehen die Matrizen im kern so aus

    0            b
  -2b        -2ib

Eine Basis von U ist also z.B. die Matrix

   0        1
-2         -2i