Lineare Algebra Aufgabe 4

Question

Aufgabe 4. Sei f : V → W eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen, und r = rank(f). Beweisen Sie, dass es Basen x1, . . . , xn ∈ V und y1, . . . , ym ∈ W gibt so, dass die Matrix von f die Blockmatrix

$$A = \left( \begin{array} { l l } { E } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right)$$

ist, wobei E die r × r-Einheitsmatrix und die übrigen Blöcke Nullmatrizen sind.

Answer 1

Sei f : V → W eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen
Vektorräumen mit dim(V)=n und dim(W)=m und r = rank(f).

Dann ist f(V) ein Untervektorraum von W und besitzt

somit eine Basis w1,....,wk.

Die Urbilder der wi sind linear unabhängig in V. Nenne sie

v₁ , … , v_k. Ergänze diese durch  v_k+1,...,v_n zu einer Basis

von V  und die w1,....,wk durch w_k+1 ,..., w_m zu einer Basis von W.

Dann ist für jedes i ∈ { 1,..., k } immer f(vi) = wi

und für i > k gilt f(v_i)=0.

Also ist die Matrix bezgl. dieser Basen genau

von der geforderten Form.