Lineare Algebra Aufgabe 2

Question

Sei r =√2. Verifizieren Sie, dass die reelle 3 × 3-Matrix

$$A = \left( \begin{array} { c c c } { 2 r } & { 2 - 2 r } & { 3 + 15 r } \\ { 2 } & { - 2 } & { 9 } \\ { 0 } & { r } & { 6 } \end{array} \right)$$

invertierbar ist, und berechnen Sie die inverse Matrix. Uberprüfen Sie ihr

Ergebnis, indem Sie zwei Einträge des Matrizenprodukts A · A−1
explizit ausrechnen.

Answer 1

Sei x=2r²+r-4. Dann lautet die inverse Matrix:

-(3r+4)/(2x)  (5r+4)/(4x)+5/4  (2r+2)/x

     -2/x                   2/x            (2r+1)/x

    r/(3x)              -r²/(3x)          -2/(3x)

Answer 2

Es ist ja r = √2. Mit diesem r erhalte ich für die Inverse:

-r-3/2      3r/2+5/2     2r+2
-r                 r            r/2+2
1/3             -r/3         -r/3

z.B. 1. Zeile der Inversen mal 1. Spalte des Originals gibt

(-r-3/2)*2r   +      (3r/2+5/2)*2    +  (2r+2) *0

= -2r^2 - 3r     +  3r  +   5

=   -4   + 5 = 1    Passt also !