Für welche reellen Parameter a ist die gegebene Funktion eine kubische Splinefunktion zu den Knoten 0,1,2,3?

Question

Aufgabe:
Es ist mit einem reelen Parameter a die nachfolgende Funktion gegeben:
(bitte nach s(x)= eine große geschweifte Klammer über die 3 Zeilen vorstellen)

	x3	für 0<= x <= 1
s(x)=	x3-(x-1)3	für 1<= x <= 2
	x3-(x-1)3+a(x-2)3	für 2<= x <= 3

Es wird nun danach gefragt, für Welche Werte von a diese Funktion eine kubische Splinefunktion zu den Knoten 0,1,2,3 darstellt.

Problem/Ansatz:

Lt. Skript ist dazu wohl zu prüfen, ob die Funktion 1. auf jedem Teilintervall [x₀,x₁]......[x_n-1,x_n] ein Polynom höchstens m-ten Grades ist und ob dieses 2. auf dem Gesamtintervall [x₀,x_n] (m-1)-mal stetig differenzierbar ist.

Das scheint alles nicht sehr schwer zu klingen, jedoch habe ich trotzdem nicht wirklich eine Ahnung, was das nun konkret bedeutet. Mathe ist bei mir seit jeher ein Kampf und ich bin einige Jahre aus dem Thema raus....

Danke auf jeden Fall im Voraus für jede Hilfe & noch eine schöne Weichnachtszeit!

Comments

Es ist offensichtlich, dass s auf allen Teilintervallen durch ein Polynom höchstens dritten Grades beschrieben werden kann und dass s über jedem der Teilintervalle mindestens zweimal differenzierbar ist. Also solltest du mal die Funktionsterme expandieren und die ersten beiden Ableitungen bilden. Die Stützstellen kannst du dann später noch betrachten.

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Also solltest du mal die Funktionsterme expandieren und die ersten beiden Ableitungen bilden.

Hallo az0815,

schonmal vielen Dank! Aber was bedeutet "expandieren"? Der Begriff sagt mir mathematisch nichts.

Ich habe nun mal die ersten beiden Ableitungen gebildet.

f(x)	f'(x)	f''(x)
x3	3x2	6x
x3-(x-1)3	3x2-3(x-1)2	6
x3-(x-1)3+a(x-2)3	3x2-3(x-1)2+3a(x-2)2	6ax-12a+6

Wie wäre jetzt das weitere Vorgehen?

Danke & schöne Grüße

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Mit "expandieren" meinte ich, die Terme als Polynom zu schreiben.

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Danke für die Erklärung. Durch ausmultiplizieren und sortieren nach Potenzen käme ich dann auf die nachfolgenden Polynome:

f(x)	Polynom
x3	x3
x3-(x-1)3	-3x2+3x-1
x3-(x-1)3+a(x-2)3	ax3-6ax2+3x2+12ax-3x-8a+1

Gruß

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Die ersten beiden Ableitungen der Polynome wären dann wie folgt:

f'(x)	f''(x)
3x2	6x
-6x+3	-6
3ax2-12ax+6x+12a-3	6ax-12a+6

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Hallo

du musst überprüfen ob an den Stellen 1 und 2 die  Funktionswerte und ersten 2. Ableitungen übereinstimmen. expandieren finde ich nicht nötig.

Gruß lul

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@lul: Nötig ist das nicht, ich vermutete, dass es für den Frager etwas einfacher sein könnte. Aber er konnte offenbar die Ableitungen auch direkt bestimmen.

Answer 1

Zentral ist die Forderung, dass die inneren Knoten gleiche Steigung und Krümmung haben (ich nummeriere die Splines durch s₁, s₂ , s_a)

\( \left\{ s_2\left(2 \right) = s_a\left(2 \right), s_2'\left(2 \right) = s_a'\left(2 \right), s_2''\left(2 \right) = s_a''\left(2 \right) \right\} \)

nachdem das unabhängig von a erfüllt ist und wenn man keine Randbedingung formuliert wäre

A_3=(3,s_a(3))=(3, a + 19)

ein Kandidat für den 4.Punkt

Comments

Hallo wächter,

erst einmal vielen Dank!

Dem kann ich glaube ich halbwegs folgen. Hätte da noch grundsätzliche Fragen:

Verstehe ich folgendes richtig: Nur für die Knoten 2 und 3 gilt der Spline s_a?
Beim Knoten 2 fällt beim Einsetzen von "2" die Variable a raus.
Beim Einsetzen von Knoten 3 ergibt sich der potentielle 4. Punkt, welcher die Variable a enthält.

Es wird ja nach den Werten gefragt, die a annehmen darf. Wie komme ich nun im nächsten Schritt auf diese? Oder gilt in diesem Fall nun: a = alle reellen Zahlen?

und beste Grüße

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zu den grundlagen siehe https://www.geogebra.org/m/s5g89mqy

durch 4 punkte A₀..A₃ gibt es 3 spline-funktionen. s_a beginnt an A₂ = (2,s₂(2)) =(2,s_a(2)) und hat die gleiche steigung  s₂‘(2)) =s_a‘(2) und krümmung s₂‘‘(2)) =s_a‘‘(2) wie die ankommende funktion s₂ .

da in diesen Voraussetzungen a fehlt, sehe ich erstmal keine Beschränkungen für a.

man könnte am anfang A₀ und am ende A₃ noch randbedingungen setzen, die braucht man bei einer spline interpolation um auf die notwendige anzahl an gleichungen zu kommen - sind hier aber nicht genannt, oder?