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f ( x ) = 0.5 * x^3 - 1.5 * a^2 * x + a^3

Nullstelle gesucht. Wie findet man die Lösung x = a, x = -2a.

Wolfram alpha bietet keine schrittweise Lösung an.

mfg Georg
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Beste Antwort

0.5 * x3 - 1.5 * a2 * x + a3 = 0

<=> x3 - 3 * a2 * x + 2 a3 = 0

Eine Nullstelle ist x = a (muss man raten).

Dann Polynomdivision:

( x3 - 3 * a2 * x + 2 a3 ) : ( x - a ) = x 2 + a x - 2 a 2

und Nullsetzen des Ergebnisses:

x 2 + a x - 2 a 2 = 0

Diese quadratische Gleichung kann man nun z.B. mit der pq-Formel lösen.

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0.5·x^3 - 1.5·a^2·x + a^3 = 0   | * 2

x^3 - 3·a^2·x + 2·a^3 = 0

Hier wurde schon richtig erkannt das x ein vielfaches von a sein muss damit es sich schön weghebt. Also probiert man vielfache von a einzusetzen.

a^3 - 3·a^2·a + 2·a^3 = 0
0 = 0

Das passt also schon zufällig. Dann macht man eine Polynomdivision durch (x - a)

(x^3 - 3·a^2·x + 2·a^3) : (x - a) = x^2 + a·x - 2·a^2

Auch hier erkennt man wieder eine Nullstelle für x = a und macht erneute Polynomdivision

(x^2 + a·x - 2·a^2) : (x - a) = x + 2·a

Hier erkennt man jetzt direkt eine Nullstelle für x = -2·a

Damit lautet die faktorisierte Form

0.5·x^3 - 1.5·a^2·x + a^3 = 0.5·(x - a)^2·(x + 2·a)
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@Mathecoach

  schönen Dank für die Antwort.  Bei der Vergabe des Ordens ( Sterns ) war JotEs
etwas schneller.

  mfg Georg
Wichtig ist auch kein Stern, sondern nur das du es verstanden hast und ähnliche Aufgaben demnächst selber lösen kannst.
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f ( x ) = 0.5 * x3 - 1.5 * a2 * x + a3

Gehe auf

f ( x ) = 0.5 ( x3 - 3 * a2 * x + 2a3

und rate Nullstellen mit den Faktoren von 2a^3, die einen Faktor a enthalten, damit sich das mit den x^3 und ax^2 aufheben kann.

D.h. man testet: ±a und ±2a. sobald eines klappt, kommst du mit Polynomdivision weiter.

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@Lu

(* Scherzmodus an Bin etwas enttäuscht. Scherzmodus aus *)

  Aber wahrscheinlich gibt es kein Verfahren mit dem man
das Ergebnis berechnen kann.

  Meine eigenen Gedanken : man könnte für a einen Wert einsetzen und
dann z.B. nach dem Newtonschen Näherungsverfahren eine Lösung
ermitteln. Das Ergebnis wäre dann x =a,  x = -2a.

  Ein 2.Mal mit anderem a Wert wiederholen. Das Ganze ist aber
nichts Vernünftiges oder gar ein allgemeiner Beweis.

  mfg Georg
Hallo Georg,

es gibt schon Verfahren, um kubische Gleichungen zu lösen, aber die benutzt niemand von Hand.

Vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Kubische_Gleichung
@Lu.

  schönen Dank für den Link.

  MIr lag bereits die Frage auf den Lippen wieso ein künstliches Hirn
( Wolfram Mathematica ), das ja nichts weiter macht als ein vom
menschlichen Hirn erdachtes Programm auszuführen, dann doch zu
Lösungen kommt.

  mfg Georg

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