Kubische Gleichung. Nullstellen gesucht von f ( x ) = 0.5 * x^3 - 1.5 * a^2 * x + a^3

Question

f ( x ) = 0.5 * x^3 - 1.5 * a^2 * x + a^3

Nullstelle gesucht. Wie findet man die Lösung x = a, x = -2a.

Wolfram alpha bietet keine schrittweise Lösung an.

mfg Georg

Answer 1

0.5 * x³ - 1.5 * a² * x + a³ = 0

<=> x³ - 3 * a² * x + 2 a³ = 0

Eine Nullstelle ist x = a (muss man raten).

Dann Polynomdivision:

( x³ - 3 * a² * x + 2 a³ ) : ( x - a ) = x ² + a x - 2 a ²

und Nullsetzen des Ergebnisses:

x ² + a x - 2 a ² = 0

Diese quadratische Gleichung kann man nun z.B. mit der pq-Formel lösen.

Answer 2

0.5·x^3 - 1.5·a^2·x + a^3 = 0   | * 2

x^3 - 3·a^2·x + 2·a^3 = 0

Hier wurde schon richtig erkannt das x ein vielfaches von a sein muss damit es sich schön weghebt. Also probiert man vielfache von a einzusetzen.

a^3 - 3·a^2·a + 2·a^3 = 0
0 = 0

Das passt also schon zufällig. Dann macht man eine Polynomdivision durch (x - a)

(x^3 - 3·a^2·x + 2·a^3) : (x - a) = x^2 + a·x - 2·a^2

Auch hier erkennt man wieder eine Nullstelle für x = a und macht erneute Polynomdivision

(x^2 + a·x - 2·a^2) : (x - a) = x + 2·a

Hier erkennt man jetzt direkt eine Nullstelle für x = -2·a

Damit lautet die faktorisierte Form

0.5·x^3 - 1.5·a^2·x + a^3 = 0.5·(x - a)^2·(x + 2·a)

Comments

@Mathecoach

  schönen Dank für die Antwort.  Bei der Vergabe des Ordens ( Sterns ) war JotEs
etwas schneller.

  mfg Georg

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Wichtig ist auch kein Stern, sondern nur das du es verstanden hast und ähnliche Aufgaben demnächst selber lösen kannst.

Answer 3

f ( x ) = 0.5 * x³ - 1.5 * a² * x + a³

Gehe auf

f ( x ) = 0.5 ( x³ - 3 * a² * x + 2a³) 

und rate Nullstellen mit den Faktoren von 2a^3, die einen Faktor a enthalten, damit sich das mit den x^3 und ax^2 aufheben kann.

D.h. man testet: ±a und ±2a. sobald eines klappt, kommst du mit Polynomdivision weiter.

Comments

@Lu

(* Scherzmodus an Bin etwas enttäuscht. Scherzmodus aus *)

  Aber wahrscheinlich gibt es kein Verfahren mit dem man
das Ergebnis berechnen kann.

  Meine eigenen Gedanken : man könnte für a einen Wert einsetzen und
dann z.B. nach dem Newtonschen Näherungsverfahren eine Lösung
ermitteln. Das Ergebnis wäre dann x =a,  x = -2a.

  Ein 2.Mal mit anderem a Wert wiederholen. Das Ganze ist aber
nichts Vernünftiges oder gar ein allgemeiner Beweis.

  mfg Georg

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Hallo Georg,

es gibt schon Verfahren, um kubische Gleichungen zu lösen, aber die benutzt niemand von Hand.

Vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Kubische_Gleichung

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@Lu.

  schönen Dank für den Link.

  MIr lag bereits die Frage auf den Lippen wieso ein künstliches Hirn
( Wolfram Mathematica ), das ja nichts weiter macht als ein vom
menschlichen Hirn erdachtes Programm auszuführen, dann doch zu
Lösungen kommt.

  mfg Georg