Ich habe eine Frage zur Taylorreihenentwicklung.
Um zu zeigen, was ich meine, habe ich mir einmal eine besonders einfache Funktion ausgedacht:
f(x) = 2 * x ^ 3 + 3 * x ^ 2 + 4 *x + 5
Die Ableitungen lauten nun:
f´(x) = 6 * x ^ 2 + 6 * x + 4
f´´(x) = 12 *x + 6
f´´´(x) = 12
Die Taylorreihenentwicklung an der Stelle x = 0 lautet:
g(x;0) = 2 * x ^ 3 + 3 * x ^ 2 + 4 *x + 5
Die Taylorreihenentwicklung an der Stelle x = 1 lautet:
g(x;1) = 2 * (x - 1) ^ 3 + 9 * (x - 1) ^ 2 + 16 * (x -1) + 14
So weit so gut.
Meine Frage lautet nun, ob es zwischen den Entwicklungsstellen x=0 und x=1 und den Koeffizienten (5;4;3;2) und (14;16;9;2) einen Zusammenhang gibt, also eine Art Bildungsgesetz mit dem man von einer Entwicklungsstelle auf eine andere Entwicklungsstelle schließen kann, ohne das man die Berechnung über die Ableitungen jedes Mal von neuem machen muss.
Hintergrund:
Ich stelle diese Frage, für den Fall, das es bei einer unbekannten oder sehr komplizierten Funktion nur unter enormen Bemühungen gelungen ist, eine Taylorreihenentwicklung aufzustellen, ob man diese ganzen Mühen jedes Mal bei jeder neuen Entwicklungsstelle von vorne durchführen muss, oder ob es einen Zusammenhang/Bildungsgesetz zwischen einer bekannte Entwicklungsstelle und bereits bekannten Taylorkoeffizienten und einer neuen Entwicklungsstelle und neu zu ermittelnden Taylorkoeffizienten gibt?
Anmerkung:
Ich bin Nicht-Mathematiker und hoffe, dass ich meine Frage verständlich genug formulieren konnte, so dass klar wird, was ich meine.
