DGL 1.Ordnung y' = (−12x2) y + x2 + 2x5

Question

Aufgabe: Linearen Differenzialgleichungen 1. Ordnung

Ich hab ein Problem bei folgender Aufgabe den richtigen Lösungsansatz zu finden : y' = (−12x²) y + x² + 2x⁵  mit           AWP y(0) = 1/2

Problem: Ich weiß einfach nicht wie ich anfange dies DGL zu lösen. Ich kann y' und y nicht separieren und mit dem Substitutionsverfahren komme ich auch nicht weiter. Wenn jemand eine Idee für einen Anfang hat würde ich mich über eine Antwort freuen.

Mit Grüßen,

Nikolas M.

Answer 1

Hallo,

Lösung via "Variation der Konstanten"

y' = (−12x²) y + x² + 2x⁵ 

y' +12x² y = x² + 2x⁵ 

y' +12x² y =0 homogene Gleichung

y' =- 12x² y Trennung der Variablen

dy/y= -12 x² dx

yh= C₁ e^(-4x³)

C₁=C(x)

yp= C(x) e^(-4x³)

yp'= C'(x) *e^(-4x³)  -12 x² C(x) e^(-4x³)

->yp und yp' in die DGL einsetzen und vereinfachen ->C(x) muß herausfallen !!

C'(x) e^(-4x³) =x² +2x⁵

C'(x)= e^(4 x³) (2 x⁵ + x²) ->Part. Integration

C(x)=  1/24 e^(4 x³) (4 x³ + 1)

---------->

yp= C(x) e^(-4x³) =1/24 e^(4 x³) (4 x³ + 1) *e^(-4x³)

yp=1/24  (4 x³ + 1)

y=yh +yp

y= C₁ e^(-4x³) +1/24  (4 x³ + 1)

y= C₁ e^(-4x³) + x³ /6 +1/24

--------->

AWB noch einsetzen in die Lösung:

y(0) = 1/2

1/2=C₁ +1/24

C₁=11/24

------->

Endergebnis:

y= (11/24) e^(-4x³) + x³ /6 +1/24

PS: Du kannst die DGL auch als exakte DGL lösen, falls behandelt, ist aber nicht nötig.

Comments

Vielen Dank erstmal für die schnell Antwort. Ich habe jetzt y = e^(-4x³) *C ausgerechnet aber jetzt stehe ich mit dem C(x) etwas auf dem Schlauch. Muss ich die Gleichung die ich jetzt berechnet habe noch ableiten und dann y=... und y'=.... in die DGL einsetzen und dann nach C(x) auflösen ?

---

yh= C1 e^(-4x3) , Setze C₁=C(x)
------->
yp= C(x) e^(-4x3) ------->Ableiten nach der Produktregel
yp'= C'(x) *e^(-4x3)  -12 x2 C(x) e^(-4x3)

->yp und yp' in die DGL einsetzen und vereinfachen ->C(x) muß herausfallen

->nach C'(x) auflösen und integrieren

->

C(x)= ...

---

Vielen Dank, jetzt hab ich die Vorgehensweise verstanden.

---

Hallo,

diesen Schritt habe ich nicht verstanden.$$dy/y= -12 x ^2 dx$$$$y_h= C_1 e^{(-4x^3)}$$

Also ich verstehe, das es funktioniert.

Steckt dahinter, dass, wenn

$$g(x)= G'(x)$$

dann

$$dy/y= (g(x)) dx$$$$y_h=  e^{(G(x)+c)}= C_1 e^{(G(x))}$$

Rückwärts ist es klar, da passt alles zusammen.

Answer 2

Hallo

Lösungsweg für alle lineare Dgl_ 1. homogenen Teil lösen (Trennung der Variablen also y'=-12x²*y dann Variation der Konstanten, also statt C C(x) schreiben und daraus y' und y in die Dgl einsetzen ergibt eine Gleichung für C'(x)

Gruß lul