Hallo,
Lösung via "Variation der Konstanten"
y' = (−12x^2) y + x^2 + 2x^5
y' +12x^2 y = x^2 + 2x^5
y' +12x^2 y =0 homogene Gleichung
y' =- 12x^2 y Trennung der Variablen
dy/y= -12 x^2 dx
yh= C1 e^(-4x^3)
C1=C(x)
yp= C(x) e^(-4x^3)
yp'= C'(x) *e^(-4x^3) -12 x^2 C(x) e^(-4x^3)
->yp und yp' in die DGL einsetzen und vereinfachen ->C(x) muß herausfallen !!
C'(x) e^(-4x^3) =x^2 +2x^5
C'(x)= e^(4 x^3) (2 x^5 + x^2) ->Part. Integration
C(x)= 1/24 e^(4 x^3) (4 x^3 + 1)
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yp= C(x) e^(-4x^3) =1/24 e^(4 x^3) (4 x^3 + 1) *e^(-4x^3)
yp=1/24 (4 x^3 + 1)
y=yh +yp
y= C1 e^(-4x^3) +1/24 (4 x^3 + 1)
y= C1 e^(-4x^3) + x^3 /6 +1/24
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AWB noch einsetzen in die Lösung:
y(0) = 1/2
1/2=C1 +1/24
C1=11/24
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Endergebnis:
y= (11/24) e^(-4x^3) + x^3 /6 +1/24
PS: Du kannst die DGL auch als exakte DGL lösen, falls behandelt, ist aber nicht nötig.