orthonormale Basen bestimmen

Question

Aufgabe:

Zeige, dass die drei Vektoren

a1=( 1 0 1), b2= (1 0 0), b3=(1 -1 0)

eine Basis des R^3 bilden. Führe diese Basis über in eine orthonormale Basis.

Problem/Ansatz:

Wie lautet hier der Rechenweg? Kann mir jemand die Aufgabe schritt für schritt erklären?

Answer 1

Schau mal dort

https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren#Algorithmus_des_Orthonormalisierungsverfahrens

Du hast w1, w2, w3 gegeben duch ( 1 0 1),(1 0 0),(1 -1 0).

Also v1 = (1 0 1 ) / || (1 0 1 )||

|| ... || (Norm) ist immer die Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst,

hier also = (1 0 1 ) / || (1 0 1 )|| =  = (1 0 1 ) / √2 .

Jetzt erst mal v₂ '  bestimmen

= (1 0 0)  - <  (1 0 1 ) / √2 , (1 0 0)  >* (1 0 1 ) / √2 .

= (1 0 0)  -  (1 / √2 )* (1 0 1 ) / √2 .

= (1 0 0)  - (1 / 2)* (1 0 1 ) 

=( 1/2   0     -1/2  )

Jetzt normieren ||( 1/2  0    -1/2  )|| = 1/√2

also v2 =  v2' / (1/√2 ) =  (√2 /2  0    -√2/2  ).

Und dann v3 ' = .....

Comments

Was ich nicht verstehe ist, dass du hier nur v1 normiert hast, warum normiert man nicht alle vektoren? Muss ich auch nicht ( 1 0 0) normieren?

Muss man hier nicht überprüfen, ob die Vektoren senkrecht aufeinander stehen?

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Erst "orthogonalisieren" dann normieren.

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Warum ist v2 =  v2' / (1/√2 ) =  (√2 /2  0    -√2/2  ) ? Also warum dividieren wir hier durch (1/√2)?

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Damit der Vektor auf Länge 1 normiert wird.

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Ne, sorry, habs immer noch nicht ganz verstanden. Warum dividiert man nicht durch (1 0 1)?

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Durch Vektoren kann man nicht dividieren.

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Okay, ich probiers mal erneut aus. Danke.