Aufgabe:
3. Gegeben sei die folgende Funktion \( y(t) \) :
\( y(t)=\frac{N}{1+b \cdot e^{-k·t}} \)
wobei \( b=\left(N-y_{0}\right) / y_{0} \) und \( y_{0} \neq 0 \) gilt. Dabei bezeichnet \( y_{0} \) den Wert der Funktion bei \( t=0 . \) Gehen Sie davon aus, dass \( N, b, k \in \mathbb{R} \) sowie \( N, b, k>0 \)
a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich sowie alle Nullstellen der Funktion \( y(t) \). (1. Punkt)
b) Berechnen Sie die erste Ableitung der Funktion \( y(t), \) sowie alle Extremstellen. (1 Punkt)
c) Bestimmen Sie die Grenzwerte fur \( x \rightarrow \pm \infty \) sowie an etwaigen Asymptoten, und das Monotonieverhalten der Funktion \( y(t) \) (1. Punkt)
d) Berechnen Sie die zweite Ableitung der Funktion \( y(t), \) sowie alle Wendestellen. (2 Punkte)
Problem/Ansatz:
Es gibt keine Nullstellen und die erste Ableitung, N*b*exp(-kt)k/(1+kexp(-kt)^2 , hat meiner Meinung nach ebenfalls keine. Ich kann mir die Funktion ohne konkrete Werte auch nicht vorstellen oder aufzeichnen, um so Extrempunkte abzulesen. Bzw. könnte eine Nullstelle der Ableitung t = unendlich sein, da e mit negativer Potenz sehr schnell gegen 0 geht, aber das ist meines Erachtens nicht im Definitionsbereich drin, weil dieser nur reelle Zahlen abdeckt.
