wie löse ich die Klammer im Nenner 3^2(n-2) auf ???

Question

Aufgabe: Wert der Reihe ermitteln

∞   

∑ (7*7^n-1)/(2*3^2(n-2))

n=3

Mein Lösungsansatz ist: zunächst erstmal 7/2 aus der Summe herauszunehmen, da dieser einen konstanten Faktor angibt. Im zähler habe ich das richtige Ergebnis jedoch im Nenner nicht, da sollte 4 rauskommen

wie löse ich die Klammer im Nenner 3^2(n-2) auf ??? erst den Exponenten 3^2 , sodass 9^(n-2) stehen bleibt und ich dann die Indexverschiebung durchführe? oder multipliziere ich die Klammer erst mit 2 und sodass 3^2n-4 steht und ich dann die Indexverschiebung durchführe.

Comments

Soll das so aussehen? $$\sum \limits_{n=3}^{\infty} \dfrac{7\cdot 7^n-1}{2\cdot 3^{2\cdot \left(n-2\right)}}$$

Answer 1

(7*7^n-1)/(2*3^2(n-2)

Ist das nicht vielleicht so:

(7*7^n-1)/(2*3^2(n-2))   ?

Das wäre dann

= 7ⁿ / ( 2* 9^n-2 )

=  7^n / ( 2* 9^n*9^(-2) )

=  (81*7^n )/ ( 2* 9^n)

(81/2) * (7/9)^n

Dann kannst du die 81/2 aus der Summe ziehen und hast

gegebene Summe

$$\frac{81}{2} \cdot \sum \limits_{n=3}^{\infty}(\frac{7}{9})^n$$

$$\frac{81}{2} \cdot (\sum \limits_{n=0}^{\infty}(\frac{7}{9})^n - 1 - \frac{7}{9} -\frac{49}{81})$$

$$\frac{81}{2} \cdot(     \frac{1}{1- \frac{7}{9}  }   - 1 - \frac{7}{9} -\frac{49}{81})=\frac{343}{4}$$

Comments

ja ist genau wie du es darstellst.

nach der Indexverschiebung ergibt sich bei mir im Zähler 7^m+3 und im Nenner 2*9^m+1

löse ich die jetzt die Exponenten auf erhalte ich im Zähler 7^3 *7^m und im Nenner 2*9*9^m.

somit kann ich ja Im Zähler 7^3 und Im Nenner 2*9 vor die Summe schieben und den Grenzwert berechnen von (7/9)^m mit 1/(1-7/9). ? ich sollte am ende 343/4 rausbekommen.

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Dein Ergebnis stimmt nicht.

Warum Indexverschiebung? Es geht doch direkt mit der Reihenformel.

Answer 2

 = (7^n*9^2)/(2*9^n) = 81/2 * (7/9)^n

81/2 vor die Summe ziehen und geometrische Reihe berechnen:

Reihenwert: a0 = (7/9)^3 = 343/729 

-> 81/2* (343/729)/(1-7/9) = 85,75