linerares Gleichungssystem, wann hat es 1 Lösung, unendlich oder keine

Question

ich hänge bei dieser Aufgabe und wäre für Hilfe sehr dankbar.

Für welche Werte des Parameters a aus R hat das lineare Gleichungssystem

x1+x2-x3=2

x1+2x2+x3=3

x1+x2- (a²-5)*x3=a

(bei dem x soll die 1, 2 oder 3 immer unten stehen, quasi drei versch. Variablen. Aber ich krieg das mit meiner Tastatur nicht hin)

1. genau eine Lösung

2. unendlich viele Lösungen

3. keine Lösungen

4. Bestimmen sie jeweils die Lösungsmenge für den Fall 1,2 und 3.

Ich hoffe ihr könnt mir irgendwie helfen.

Vielen Dank

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Siehe auch unter "Mögliche Lösungen für Lineare Gleichungssysteme": https://www.matheretter.de/wiki/lineare-gleichungssysteme

PS: Tiefgestellen x_tief kannst du im Editor mit dem Button: [ x₂ ]

Answer 1

x1       x2       x3

1         1         -1           2

1         2          1           3

1         1        a²-5        a

Nach einem Schritt Gauß-Algorithmus, wobei die 2. und 3. Zeile jeweils von der 1. abgezogen wird, entsteht:

x1       x2       x3

1         1         -1                  2

0        -1         -2                -1

0         0       -1 - a²+5       2-a

Jetzt betrachtet man nur noch die letzte Zeile:

Das LGS hat unendlich viele Lösungen, falls auf beiden Seiten 0 steht, also -a²+4 und 2-a gleichzeitig 0 sind.

Das LGS hat keine Lösung, falls auf der linken Seite 0 steht und auf der rechten Seite etwas ungleich 0, also -a²+4=0 wird und 2-a nicht.

In allen anderen Fällen hat das LGS eine Lösung.

Also:

-a²+4=0

a₁ =  2         a₂ = -2

2-a = 0

   a = 2

Man sieht, dass für a = 2 beide Seiten 0 sind. Daher hat das LGS für a = 2 unendlich viele Lösungen.

Außerdem ist die linke Seite für a = -2 gleich 0, die rechte aber nicht. Deswegen hat das LGS für a = -2 keine Lösung.

Für alle anderen a hat das LGS genau eine Lösung.

1)L ={(x₁;x₂;x₃)∈ℝ³Ι x₁=(5+a)/(2+a); x₂ = (a/(2+a); x₃ = 1/(2+a)}

2) L ={ (x₁;x₂;x₃)∈ℝ³}

3) L = {}

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Vielen dank. Hab da wohl irgendwie gehakt.