Vollständige Induktion mit Cauchy-Produkt

Question

Aufgabe : Zeigen Sie, dass für alle \( q \in \mathbb{C} \) mit \( |q|<1 \) und \( n \in \mathbb{N} \) die folgende Formel gilt:

\( (1-q)^{-(n+1)}=\sum \limits_{k=0}^{\infty}\left(\begin{array}{c} n+k \\ n \end{array}\right) x^{k} \)
Hinweis: Führen Sie eine vollständige Induktion über alle \( n \in \mathbb{N} \) durch und wenden Sie die Formel für das Cauchy-Produkt an.

Comments

hallo

da ist was mit deiner Formel falsch links kein x rechts kein q?

lul

---

Hallo,

der Induktionsanfang ist kein Problem - oder?

Gruß

---

eig nicht, aber das x rechts und  das q links irritiert mich

---

" irritiert mich"

Das ist aber sehr diplomatisch formuliert. Es handelt sich um einen Druckfehler. Wenn Du links q durch x ersetzt, wäre dann der Induktionsanfang klar?

Gruß

---

habe nochmal nachgefragt :es ist doch kein druckfehler.

ich habe leider das problem bei der umformung. ich komme einfach nicht weiter :(

---

Wenn du dich nach der linken Seite der Gleichung erkundigt hast, dann wird man dir wohl zu Recht - und somit im Gegensatz zum Kommentar von MP - die Antwort gegeben haben, dass dort wirklich ein q steht.

---

Kleiner Scherz:

"dass dort wirklich ein q steht."

Ich habe nicht bezweifelt, dass dort wirklich ein q steht,

Ich habe vorgeschlagen, es durch x zu ersetzen, damit wir zu einer Aufgabe kommen. Will man den Vorspann vor der Gleichung "retten", wäre rechts das x durch ein q zu ersetzen.

Gruß

---

Hi, ich muss tatsächlich die gleiche Aufgabe bearbeiten. Ich habe mir gedacht, dass ich den Limes von der Summe bilden muss. Dass die konvergieren ist ja durch das Cauchy Produkt klar, da wir die Summe auseinander ziehen können und die beiden einzelnen Reihen dann konvergieren. Dann müsste der Limes doch gleich der linken Seite sein, oder?
Wenn ich einen Induktionsanfang bilde für n=1 kommt bei mir allerdings 1=\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{} \) x^k raus, was ja irgendwie nicht sein kann, weil 1 nicht gleich unendlich ist. Und jetzt bin ich am verzweifeln und komme nicht mehr weiter.

---

Hallo,

geht es um die Formel

$$(1-q)^{-(n+1)} = \sum_{k=0}^{\infty} \begin{pmatrix} n+k \\ n\end{pmatrix} q^k$$

Wenn ja, gilt bei Euch 0 als natürliche Zahl oder beginnt die Induktion mit n=1?

@ MeriWa: Welche Summen ziehst Du auseinander??

Gruß

---

Also bei uns gehen die natürlichen Zahlen erst bei 1 los, wenn nichts anderes gesagt wird.

Ich habe gerade selber gesehen, dass ich einen Fehler gemacht habe. Ich würde die die Summe zu  \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\begin{pmatrix} n+k \\ n \end{pmatrix}} \) und \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{} \)x^k auseinander ziehen. Die beiden einzelnen konvergieren beide gegen unendlich, soweit ich das sehe.

Trotzdem komme ich beim Induktionsanfang schon durcheinander.

---

Hallo,

kannst Du irgendeine mathematische Begründung / Rechtfertigung geben, wie Dir Dein "Auseinanderziehen" helfen kann?

Gruß

Answer 1

Hallo,

um mal in der Sache weiter zu kommen: Wenn wir den Induktionsanfang mit n=1 starten wollen, brauchen wir folgende Information:

$$(1-q)^{-2}= \sum_{k=0 }^{\infty} \begin{pmatrix} 1+k \\ 1\end{pmatrix} q^k=\sum_{k=0 }^{\infty} (1+k)q^k$$

Diese Formel beweisen wir jetzt mit Hilfe des Cauchy-Produkts: Wir wissen (geometrische Reihe, immer \(|q|<1\)):

$$(1-q)^{-1}=\sum_{i=0}^{\infty}q^i \text{ und } (1-q)^{-1}=\sum_{j=0}^{\infty}q^j $$

Ich schreibe das zweimal auf mit verschiedenen Laufindizes, damit die Anwendung der Cauchy-Produkt-Formel besser zu verfolgen ist, nämlich:

$$(1-q)^{-2}=\sum_{k=0}^{\infty}a_k q^k$$

mit

$$a_k=\sum_{i=0}^k q^i q^{k-i}= \sum_{i=0}^k q^k = (1+k)q^k$$

Auf dieselbe Art läuft der Induktionsbeweis ab - wenn, wie in der Aufgabe gesagt, das Cauchy-Produkt verwendet werden soll. Allerdings ist die Berechnung der Cauchy-Koeffizienten etwas schwieriger.

Gruß