Aufgabe:
Aufgabe 3 (Dezimaldarstellung). Für ein \( x \in \mathbb{R} \) sei die Gauß-Klammer \( \lfloor x\rfloor \) von \( x \) definiert als die größte ganze Zahl \( n \in \mathbb{Z} \) mit \( n \leq x . \) Zum Beispiel gelten \( \lfloor\sqrt{2}\rfloor=1,\lfloor-\sqrt{2}\rfloor= \) \( -2,\lfloor 3\rfloor=3,\lfloor\pi\rfloor=3 \)
Sei nun \( x \in[0,1) . \) Wir definieren eine Folge \( c_{1}, c_{2}, c_{3}, \ldots \) wie folgt: \( c_{1}=\lfloor 10 \cdot x\rfloor \) \( c_{2}=\left\lfloor 100 \cdot\left(x-\frac{c_{1}}{10}\right)\right\rfloor, \) und sind \( c_{1}, \ldots, c_{n} \) bereits definiert, so setze
\( c_{n+1}=\left\lfloor 10^{n+1}\left(x-\sum \limits_{l=1}^{n} \frac{c_{l}}{10^{l}}\right)\right\rfloor \)
(i) Berechnen Sie die Folge \( \left(c_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) für \( x=\frac{1}{3} \) und \( x=\frac{1}{8} \).
(ii) Zeigen Sie, dass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:
(a) Es gilt \( c_{n} \in\{0,1, \ldots, 9\} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \).
(b) Für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt \( \sum \limits_{l=1}^{n} \frac{c}{10^{\prime}} \leq x<\left(\sum \limits_{l=1}^{n} \frac{c_{l}}{10^{t}}\right)+\frac{1}{10^{n}} \)
(c) Die Reihe \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{c_{n}}{10^{n}} \) ist konvergent und \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{c_{n}}{10^{n}}=x \).
Bemerkung. Man schreibt dann üblicherweise \( , x=0, c_{1} c_{2} c_{3} c_{4} \ldots . . " \)
Problem/Ansatz:
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Ich habe leider Probleme beim Lösen dieser Aufgabe. Könnte mir da jemand weiterhelfen? Vielen Dank schonmal im Voraus.
