Lineare Abblidung und Inverse

Question

c) Die Abbildung \( J: V \rightarrow V, v \mapsto i \cdot v \) ist \( \mathbb{R} \) -linear und bijektiv. Bestimmen Sie die inverse Abbildung.
d) Es sei \( \varphi: V \rightarrow V \) eine \( \mathbb{R} \) -lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass \( \varphi \) genau dann C-linear ist, wenn \( \varphi \circ J=J \circ \varphi \) gilt.

bin mir bei diesen 2 Aufgaben unsicher. Hatte bei der c an -i*v als inverse abbildung gedacht, weiß aber nicht, ob das korrekt ist. Bei der d weiß ich auch nicht so recht, wie ich vorgehen sollte. Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte :)

Grüße

Answer 1

Hatte bei der c an -i*v als inverse abbildung gedacht, weiß aber nicht, ob das korrekt ist

Das kannst du überprüfen indem du \(J(-i\cdot v)\) ausrechnest. Wenn du als Ergebnis \(v\) bekommst, dann ist \(v\mapsto -i\cdot v\) die inverse Abbildung von \(J\).

Falls du nicht \(v\) als Ergebnis bekommst, dann kannst du die inverses Abbildung bestimmen indem du die Gleichung

        \(y = i\cdot v\)

nach v umstellst und dann \(v\) durch \(J^{-1}(v)\) ersetzt und \(y\) durch \(v\).

Comments

Okay, wenn ich es so mache, dann komme ich auf v/i und wenn ich das in J einsetze, kommt auch v wieder heraus. Das kommt mir nur irgendwie alle viel zu einfach vor...

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\(\begin{aligned} i\cdot v & =y &  & |\cdot i^{-1}\\ i^{-1}\cdot i\cdot v & =i^{-1}\cdot y\\ v & =i^{-1}y\\ J^{-1}(v) & =i^{-1}v \end{aligned}\)

Inwieweit du das jetzt noch weiter umformen kannst, hängt davon ab, was \(V\) und was \(i\) ist.

Ist zum Beispiel \(i\) die imaginäre Einheit, dann ist \(i^{-1} = -i\) und du darfst

        \(J^{-1}(v) =-i\cdot v\)

schreiben.

Sind \(i\) und \(v\) reelle oder komplexe Zahlen, dann darfst du die Konvention

        \(\frac{a}{b} \coloneqq a\cdot b^{-1}\)

anwenden und

\(J^{-1}(v) = \frac{v}{i}\)

schreiben. Ist \(V\) ein mehrdimensionaler Vektorraum, schreibt man das so nicht auf.

Übrigens, was bedeuten \(\mathbb{R}\)-linear und \(\mathbb{C}\)-linear im Gegensatz zu linear?

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Danke, dass du mir das nochmal so ausführlich erklärt hast, das hat mir wirklich beim Verständnis geholfen! \(\mathbb{R}\)-linear betont, dass es sich um einen Vektorraumhomomorphismus über einen reellen Vektorraum handelt. \(\mathbb{C}\)-linear, dann das entsprechende mit einem Vektorraum über den komplexen Zahlen.