Bestimmen Sie, für welche a element aus R der Vektor w in lin(v1,v2) liegt.

Question

V1 und V2 sind Vektoren im R^3.

Bestimmen Sie, für welche a element aus R der Vektor w in lin(v1,v2) liegt.

\( v_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) \)

\( v_{2}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right) \)

\( w=\left(\begin{array}{l}0 \\ a \\ 1\end{array}\right) \)

lin(v1,v2) heißt ja so viel wie: Im Unterraum von v1,v2.

Ich denke mal, dass der Vektor w gesucht ist (bzw. a), welcher sich im Unterraum von v1 und v2 befindet. Wie kann ich das lösen?

Answer 1

Hallo,

Bei \(\operatorname{lin}(v_1,v_2)\) handelt es sich um die Ebenengleichung in Parameterdarstellung:$$ \operatorname{lin}(v_1,v_2)= \left \{t\cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}+k\cdot \begin{pmatrix} 3\\2\\1 \end{pmatrix} ; \, k,t \in \mathbb{R} \right \}$$ Damit der Vektor \(\vec{w}\) in der Ebene liegt, muss er senkrecht zum Normalvektor \(\vec{n}\) stehen, der sich aus dem Kreuzprodukt der Spannvektoren \(v_1\times v_2\) berechnet, das bedeutet konkret, dass \(\vec{w}\cdot (\vec{v_1}\times \vec{v_2})=0\) gelten muss. Die Analytische Geometrie sollte aus der Schule bekannt sein. (?)

Alterantiv löst du ein Gleichungssystem in Abhängigkeit der Variable \(a\):$$\begin{pmatrix} 0\\a\\1 \end{pmatrix}=t\cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}+k\cdot \begin{pmatrix} 3\\2\\1 \end{pmatrix}$$ Das ist allerdings zeitaufwendiger als über die Orthogonalitätsbedingung durch das Skalarprodukt zu gehen.

Comments

Das mit der Orthogonalitätsbedingung schaue ich mir mal an.

Aber warum ist von dem Vektor (1,2,3) bei dir noch ein t?

Ich kenne eine Ebenengleichung so, dass es einen Startpunkt gibt, welcher mit vielfachen des zweiten Vektors addiert wird. (Also wie k*(3,2,1))

---

Gleich wird es bei dir Klick machen. In der Schule würde man schreiben:$$E: \, \vec{x}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}+k\cdot \begin{pmatrix} 3\\2\\1 \end{pmatrix}$$ Eine Ebene besteht aus einem Stützvektor und zwei Spannvektoren. Genau das beschreibt \(\operatorname{lin}(v_1,v_2)\). Den "Spann" der beiden Vektoren.

Das mit der Orthogonalitätsbedingung schaue ich mir mal an.

Das Wissen über Analytische Geometrie hilft meistens zur Anschauung. Du wirst bestimmt auch irgendwann Untervektorräume addieren und schneiden und für diese neuen UVR Basen ausmachen. Never forget the basics.

---

Ja, jetzt macht es Klick, danke dir racine_carrée.

Bei $$ lin(v1) $$ ist es dann eine Gerade oder?

---

Das ist korrekt. Wenn \(v_1\) im Anschauungsraum \(\mathbb{R}^3\) liegt, ist das eine Geradengleichung, so wie du sie aus der analytischen Geometrie kennst.