Gibt es ein x 0, für welches die Größe y bezüglich x elastisch ist?

Question

Elastizität - Wurzelfunktion:

Hallo Leute,

ich sitze gerade an folgender Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion $$\sqrt{2x+1}$$

Gibt es ein x < 0, für welches die Größe y bezüglich x elastisch ist?

Ich komme bis zu dem folgenden Schritt:

$$e_{y,x}= | \frac{x*(2x+1)^{-0,5}} {(2x+1)^{0,5}}| > 1$$

Was mache ich jetzt?

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Was mache ich jetzt?

Zunächst einmal der hier versammelten Gemeinde erklären, was Du unter "elastisch" verstehst. Falls Ökonom, dann wahrscheinlich dass der Betrag der Elastizität ≥ 1 sei? Und den Titel der Frage könntest Du noch korrigieren, da fehlt ein Ungleichheitszeichen.

Falls es so ist wie ich vermute, dann ist der Betrag der Elastizität ≥ 1 im Intervall [-1, -\( \frac{1}{3} \)] (mit Polstelle bei x = - \( \frac{1}{2} \)).

Answer 1

Hallo,

\(e(x)  =\dfrac{x·f'(x)}{f(x)}\)

\( f(x)=\sqrt{2x+1} \text{ } →  \text{} \textcolor{blue}{e(x)} =\dfrac{\frac{x}{\sqrt{2x+1}}}{\sqrt{2x+1}}=\textcolor{blue}{\dfrac{x}{2x+1}} \)

f(x) elastisch ⇔

\( \left| \dfrac{x}{2x+1} \right| >1\)

⇔      \( \dfrac{x}{2x+1} >1\)    ∨     \( \dfrac{x}{2x+1} < -1\)

Jetzt kann man jeweils zwei Fälle für das Vorzeichen von 2x+1 unterscheiden

   [ x > -1/2 →  2x+1 > 0   bzw. x < -1/2  →  2x+1 < 0 ]

und dann mit 2x+1 multiplizieren (im zweiten Fall dreht sich jeweils das Ungleichheitszeichen)

⇔      \(-1 < x < -\frac{1}{2} \)   ∨   \( -\frac{1}{2}  < x < - \frac{1}{3}  \)

⇔      \(\textcolor{green}{x≠- \frac{1}{2}\text{ }\text{ }\text{ }∧\text{ }-1<x<-\frac{1}{3}}\)

Gruß Wolfgang

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Danke Wolfgang. Ich habe das so erstmal verstanden.

Ich habe nur eine Frage zum letzten Schritt:

Wie bist du auf das "grün geschriebene" gekommen?

Könntest du die Rechnung (der Ungleichung) vielleicht etwas genauer zeigen? Danke :)

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Werde die Aufgabe dahingehend ergänzen.

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Danke dir :)

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