Ich bräuchte ein Bsp für einen nicht-vollkommenen Körper.

Question

In meiner VL geht es gerade um vollkommene Körper.

Könnte mir jdm ein Bsp für einen nicht-vollkommenen Körper sagen?

Bzw, könnte mir jdm folgendes Bsp erklären: Sei K= Fp(t). Dann ist K ein unvollkommener Körper.

Meine Frage: was ist dabei t? Ich verstehe noch nicht ganz, warum K dann unvollkommen sein soll...

Vielen Dank schon mal für eure Hilfe :)

Answer 1

Alle Körper mit Charakteristik 0 sind vollkommen, alle endlichen Körper auch, d.h. man sucht einen unendlichen Körper mit Charakteristik p > 0. Ein sehr einfacher Körper ist \( \mathbb F_p(t) \), deshalb betrachtet man den einfach mal.

\( \mathbb F_p(t) \) ist der Quotientenkörper des Polynomrings \( \mathbb F_p[t] \). Die Elemente sind also so Polynombrüche der Form

$$ \frac{a_n t^n + \dotsm +a_1t +a_0}{b_m t^m + \dotsm + b_1 t + b_0}, \quad \text{mit } a_n,...,a_0, b_m,...,b_0 \in \mathbb F_p, ~b_m \neq 0 $$

Und jetzt muss man sich halt eine algebraische Erweiterung dieses Körper suchen, die nicht separabel ist, um zu zeigen, dass dieser Körper tatsächlich nicht vollkommen ist. Habt ihr das in der VL gemacht, bzw. welche äquivalenten Charakterisierungen für Vollkommenheit kennst du bereits?

Comments

Ja das haben wir gemacht, jedoch steht es so in meinem Skript, was mich etwas verwirrt hat:

Hierbei ist t dann vermutlich ein Element, welches zu Fp hinzugefügt wurde. Dh Fp(t) ist eine Körpererweiterung von Fp.

Fp(t)[x] ist dann der Polynomring der Körpererweiterung denke ich...

Mich hat es nur verwirrt, dass nirgends genau gesagt wird, was für ein Element t ist... Wenn man zb ein Element t zu Fp hinzufügt, welches ohnhin schon drin ist, ist die Dimension der Erweiterung zwar 1, aber theoretisch sollte das ja laut dem Bsp gehen? Und dann verstehe ich die Konstruktion aber nicht mehr...

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Das t ist im allgemeinen einfach ein transzendentes Element über F_p, das kannst du wie die Variable eines Polynoms betrachten und der Körper F_p(t) ist dann der Körper der rationalen Funktionen über F_p in der Variablen t.

, ist die Dimension der Erweiterung zwar 1, aber theoretisch sollte das ja laut dem Bsp gehen?

Nein das geht nicht, wir brauchen auf jeden Fall einen unendlichen Körper mit Charakteristik p>0, das t muss also zwingend transzendent sein. Einfache algebraische Erweiterungen eines endlichen Körpers sind zwingend endlich und insb. vollkommen.