Zeigen Sie: f^-1 ist bijektiv und es gilt

Question

Aufgabe:

Es seien M,N und L Mengen.

a) Es sei f:M → N eine bijektive Abbildung. Zeigen Sie: f^-1 ist bijektiv und es gilt
(f^-1)^-1=f.

b) Es seien f:M → N und g:N → L bijektive Abbildungen. Zeigen Sie:
(g ◦ f)^-1=f^-1 ◦ g^-1.

Es seien M,N nichtleere Mengen und f:M → N eine Abbildung. Zeigen Sie:

a)f ist genau dann injektiv, wenn es eine Abbildung g:N → M gibt, so dass
g ◦ f= idM gilt.

b)f ist genau dann surjektiv, wenn es eine Abbildung g:N → M gibt, so dass
f ◦ g= idN gilt.

Problem/Ansatz:

Lerne derzeit für die Klausur Grundlagen der Mathematik und komme bei den beiden Aufgaben überhaupt nicht weiter bzw. verstehe diese auch nicht. Kann mir da jemand weiter helfen?

Answer 1

1a) Wie ist denn f^(-1) definiert ? Vermutlich doch so f^(-1) ist (wenn sie

denn existiert) die Abbildung mit fo f^(-1) =  f^(-1)of = id _M

f^(-1) injektiv:  Seien a,b ∈ M mit  f^(-1)(a) = f^(-1)(b)

==>            f(f^(-1)(a) ) =  f(  f^(-1)(b) )

==>                 id(a)  =   id(b)

==>                      a=b .      q.e.d.

f^(-1) surjektiv: Sei y ∈ M  . zu zeigen: Es gibt x ∈ N mit

           f^(-1) (x) = y .

Da y∈ M gibt es x = f(y)  ∈ N

  ==>  f^(-1) ( x) = f^(-1)(f(y) = ( f^(-1)of)(y) = id(y) = y.

                                                q.e.d.

Comments

Vielen Dank.

Habe die unteren beiden Aufgaben erfolgreich gelöst, jedoch fehlt mir nur noch die Aufgabe: Es seien f:M → N und g:N → L bijektive Abbildungen. Zeigen Sie:
(g ◦ f)^-1=f^-1 ◦ g^-1.

Falls mir da jemand noch helfen kann, wäre ich sehr dankbar.

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Sei h die inverse Abb. von gof.

Dann muss du zeigen (gof)oh=h0(gof)=id_L .

Und wenn behauptet wird,dass h=f^-1 ◦ g^-1 ist, dann setze das

einfach ein und zeige: Es stimmt.