Konvergiert die Folge? ∑ (n!)^2 / (2n)!

Question

Konvergiert die Folge?

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(n !)^{2}}{(2 n) !} \)

Wie zeige ich Konvergenz? Unsere Definition sieht so aus:

Definition \( 1.2 \) (Konvergenz von Folgen) Die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergiert mit \( n \rightarrow \infty \) gegen \( a \in \mathbb{R} \), falls gilt:
Zu jedem \( \varepsilon>0 \) gibt es ein \( N \in \mathbb{R} \), so dass für alle \( n>N \) gilt: \( \left|a_{n}-a\right|<\varepsilon \).
Die Zahl a heißt dann Grenzwert der Folge und wir schreiben kurz \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=a \) oder \( a_{n} \rightarrow \) a für \( n \rightarrow \infty \). Eine Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) heißt konvergent, wenn es ein \( a \in \mathbb{R} \) gibt, das Grenzwert der Folge ist; andernfalls heißt die Folge divergent.

Mit den Quantoren \( \forall \) (fur alle), \( \exists \) (existiert) und \( \Rightarrow \) (daraus folgt) lässt sich die Definition der Konvergenz auch wie folgt fassen:
\( \forall \varepsilon>0 \exists N \in \mathbb{R}: \quad\left(n>N \quad \Rightarrow \quad\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon\right) \)

Wie komme ich von dieser Definition zur Lösung der Aufgabe?

Comments

Du hast es hier mit einer Reihe zu tun. Siehst da am Summenzeichen ∑. 

Wenn du daraus wirklich eine Folge machen willst und über die Definition der Konvergenz von Folgen rechnen möchtest, musst du die Folge der Teilsummen s_k = ∑_n=1^k (n!)^2 / (2n)! ansehen. Und dann k gegen unendlich gehen lassen.
Könnte aber auch sein, dass ihr bereits einige Kriterien zur Konvergenz von Reihen kennt. Das ginge schneller.

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leider nein wir haben es mit folgen und teilsummen gemacht.. aber das verstehe ich eben nicht so recht

Answer 1

Erstmal sollte dir auffallen, dass du hier die Definition der Konvergenz einer Reihe brauchst.

Um dann zu testen, ob die Reihe konvergiert, kannst du das Quotientenkriterium benutzen.