additionstheoreme anwenden bei cos(3x) = cos x − 4 sin^2 x * cos x

Question

Aufgabe: Ich soll

cos(3x) = cos x − 4 sin^2 x * cos x

mit hilfe der additionstheoreme beweisen.

Problem/Ansatz: nach langen ausprobieren komme ich trotzdem einfach nicht auf die richtige lösung

ich habe damit angefangen cos(3x) als cos(2x+x) zuschreiben um ein additionstheorem anwenden zu können.

cos(2x*x)= cos(2x)*cos(x)-sin(2x)*sin(x)

        =2cos^2(x)-sin^2(x)*cos(x)- 2 sin(x)*cos(x)*sin(x)

       =2cos^2(x)-sin^2(x)*cos(x)- 2 sin^2(x)*cos(x)

was muss ich als nächstes anwenden um weiter zu kommen?

Comments

cos(3x) = cos x − 4 sin2 x * cos x stimmt nicht.

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tut mir leid die aufgabe sollte so lauten

cos(3x)= cos x - 4sin^2 x *cos x

Answer 1

Ich verwende folgende Additionstheoreme

SIN(a + b) = SIN(a)·COS(b) + SIN(b)·COS(a)
COS(a + b) = COS(a)·COS(b) - SIN(a)·SIN(b)

COS(3·x)
= COS(2·x + x)
= COS(2·x)·COS(x) - SIN(2·x)·SIN(x)
= COS(x + x)·COS(x) - SIN(x + x)·SIN(x)
= (COS(x)·COS(x) - SIN(x)·SIN(x))·COS(x) - (SIN(x)·COS(x) + SIN(x)·COS(x))·SIN(x)
= COS^3(x) - SIN^2(x)·COS(x) - SIN^2(x)·COS(x) - SIN^2(x)·COS(x)
= COS^3(x) - 3·SIN^2(x)·COS(x)
= COS(x)·COS^2(x) - 3·SIN^2(x)·COS(x)
= COS(x)·(1 - SIN^2(x)) - 3·SIN^2(x)·COS(x)
= COS(x) - SIN^2(x)·COS(x) - 3·SIN^2(x)·COS(x)
= COS(x) - 4·SIN^2(x)·COS(x)