Wie bestimme ich die Parameterdarstellung eines Kegelmantels mit der Verwendung von Zylinderkoordinaten?

Question

Aufgabe:

Gegeben habe ich einen Kegel mit dem Radius x in einer x-y-Ebene, die Mitte liegt im Ursprung, also bei (0|0) und die Höhe h ist 4*x.

Gesucht ist jetzt die Parameterdarstellung, mit der Verwendung von Zylinderkoordinaten, für den Kegelmantel.

Problem/Ansatz:

Nehme ich jetzt 3 Punkte, also z.B. wenn der Radius 2 gewählt wird: A(0|0), B(2|0), C(0|8) und stelle mir daraus eine Ebenengleichung zusammen?

Comments

Step 1: Zylinderkoordinanten einsehen

Answer 1

Aloha :)

Das eigentliche Problem ist der Radius \(R(z)\) in Abhängigkeit von \(z\). Wir wissen, dass \(R(0)=x\) ist und \(R(4x)=0\). Damit kann man eine Geradengleichung aufstellen:$$R(z)=-\frac{1}{4}z+x\quad;\quad z\in[0;4x]$$Damit können wir einen Vektor \(vec r\) angeben, der die Oberfläche des Kegels abtastet:$$\vec r=\begin{pmatrix}R(z)\cos\varphi\\R(z)\sin\varphi\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\left(x-\frac{z}{4}\right)\cos\varphi\\\left(x-\frac{z}{4}\right)\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad z\in[0;4x]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$