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Wie lässt sich die Schnittlinie von einer Ebene und einem Kegelmantel in einer Gleichung beschreiben?

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Titel: Wie bestimme ich die Gleichungen eines Kegelschnittes?

Stichworte: kegelschnitt,ebenengleichung,schnittpunkte

Aufgabe:

Wie bestimme ich die Gleichungen eines Kegelschnittes? Also die Schnittlinie zwischen einer Ebene und einem Kegel?

3 Antworten

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Beste Antwort

Das hängt sehr von der Lage der Ebene ab.

Schau mal dort:     https://de.wikipedia.org/wiki/Kegelschnitt

Avatar von 289 k 🚀
Das hängt sehr von der Lage der Ebene ab.

und von der Lage des möglicherweise schräg irgendwo im Koordinatensystem herumlungernden Kegels...

Als Ebenengleichung habe ich (0|0|3X)+t*(-1|0|0)+s*(0|-1,5X|3X)

und mein Kegel ist bei ((x-z/4)*cosphi|(x-z/4)*sinphi|z)


woher weiß ich aber nun um welche Form von Schnitt es sich handelt (Hyperbel, Parabel etc.)?

woher weiß ich aber nun um welche Form von Schnitt es sich handelt (Hyperbel, Parabel etc.)?


Dazu musst die den Neigungswinkel der Ebene zur xy-Ebene mit dem Neigungswinkel einer Mantellinie zur xy-Ebene vergleichen.

Ist der Neigungswinkel der Mantellinie größer, entsteht eine Ellipse.

Ist der Neigungswinkel der Mantellinie kleiner, entsteht eine Hyperbel.

Bei gleichen Neigungswinkeln entsteht eine Parabel..

Guckst du hier:

https://www.lernhelfer.de/sites/default/files/lexicon/article_image/BWS-MAT2-0613-05.gif

Kannst du mir zeigen wie das bei meinem spezifischen Beispiel funktionieren würde? Ich komme mit der Berechnung einfach nicht weiter :((

woher weiß ich aber nun um welche Form von Schnitt es sich handelt (Hyperbel, Parabel etc.)?


Ich zitiere aus einem vorgehenden Beitrag von dir:

Als Normalvektor habe ich (0|3|1,5).

Die xy-Ebene hat den Normalenvektor (0|0|1). Die Größe des Schnittwinkels beider Ebenen ist somit 63,4°.

Da bei deinem Kegel die Höhe viermal so groß wie der Radius ist, gilt für die Neigung der Mantellinie tan α = 4 und somit α=75,96°.

Es entsteht also eine Ellipse, weil die Mantellinie stärker geneigt ist.

Danke, aber wie kommst du auf 63,4 Grad? Wenn ich das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechne, dann bekomme ich 1,5 raus. Was mache ich falsch?

Der Kosinus des Schnittwinkels ist das Skalarprodukt geteilt durch die Beträge beider Normalenvektoren.


Kürzer ist natürlich der Ansatz tan β = 3 / 1,5.

Unbenannt.png

Text erkannt:

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Ich habe ein Brett vorm Kopf gehabt, dankeschön jetzt klappt es

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Durch Gleichsetzen.

Du brauchst dafür eine Gleichung für den Kegelmantel und eine Gleichung der Ebene.

Avatar von 55 k 🚀

Die habe ich schon, und was muss ich dann damit machen?

Wie ich schon schrieb: Du musst sie gleichsetzen.

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Ich war gerade an einem ähnilchen Problem und hab spasshalber mal Ebene = Kegel(Zylinderkoordinaten)
gesetzt. Das Ergebnis ist fürchterlich bekommt aber gute Haltungsnoten

blob.png


Etwas übersichtlicher ist der Weg über die explizite Gleichung...

Avatar von 21 k

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