Wie lässt sich die Schnittlinie von einer Ebene und einem Kegelmantel in einer Gleichung beschreiben?

Question

Aufgabe:

Wie lässt sich die Schnittlinie von einer Ebene und einem Kegelmantel in einer Gleichung beschreiben?

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Vom Duplikat:

Titel: Wie bestimme ich die Gleichungen eines Kegelschnittes?

Stichworte: kegelschnitt,ebenengleichung,schnittpunkte

Aufgabe:

Wie bestimme ich die Gleichungen eines Kegelschnittes? Also die Schnittlinie zwischen einer Ebene und einem Kegel?

Answer 1

Das hängt sehr von der Lage der Ebene ab.

Schau mal dort:     https://de.wikipedia.org/wiki/Kegelschnitt

Comments

Das hängt sehr von der Lage der Ebene ab.

und von der Lage des möglicherweise schräg irgendwo im Koordinatensystem herumlungernden Kegels...

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Als Ebenengleichung habe ich (0|0|3X)+t*(-1|0|0)+s*(0|-1,5X|3X)

und mein Kegel ist bei ((x-z/4)*cosphi|(x-z/4)*sinphi|z)

woher weiß ich aber nun um welche Form von Schnitt es sich handelt (Hyperbel, Parabel etc.)?

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woher weiß ich aber nun um welche Form von Schnitt es sich handelt (Hyperbel, Parabel etc.)?

Dazu musst die den Neigungswinkel der Ebene zur xy-Ebene mit dem Neigungswinkel einer Mantellinie zur xy-Ebene vergleichen.

Ist der Neigungswinkel der Mantellinie größer, entsteht eine Ellipse.

Ist der Neigungswinkel der Mantellinie kleiner, entsteht eine Hyperbel.

Bei gleichen Neigungswinkeln entsteht eine Parabel..

Guckst du hier:

https://www.lernhelfer.de/sites/default/files/lexicon/article_image/BWS-MAT2-0613-05.gif

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Kannst du mir zeigen wie das bei meinem spezifischen Beispiel funktionieren würde? Ich komme mit der Berechnung einfach nicht weiter :((

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woher weiß ich aber nun um welche Form von Schnitt es sich handelt (Hyperbel, Parabel etc.)?

Ich zitiere aus einem vorgehenden Beitrag von dir:

Als Normalvektor habe ich (0|3|1,5).

Die xy-Ebene hat den Normalenvektor (0|0|1). Die Größe des Schnittwinkels beider Ebenen ist somit 63,4°.

Da bei deinem Kegel die Höhe viermal so groß wie der Radius ist, gilt für die Neigung der Mantellinie tan α = 4 und somit α=75,96°.

Es entsteht also eine Ellipse, weil die Mantellinie stärker geneigt ist.

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Danke, aber wie kommst du auf 63,4 Grad? Wenn ich das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechne, dann bekomme ich 1,5 raus. Was mache ich falsch?

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Der Kosinus des Schnittwinkels ist das Skalarprodukt geteilt durch die Beträge beider Normalenvektoren.

Kürzer ist natürlich der Ansatz tan β = 3 / 1,5.

Text erkannt:

1

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Ich habe ein Brett vorm Kopf gehabt, dankeschön jetzt klappt es

Answer 2

Durch Gleichsetzen.

Du brauchst dafür eine Gleichung für den Kegelmantel und eine Gleichung der Ebene.

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Die habe ich schon, und was muss ich dann damit machen?

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Wie ich schon schrieb: Du musst sie gleichsetzen.

Answer 3

Ich war gerade an einem ähnilchen Problem und hab spasshalber mal Ebene = Kegel(Zylinderkoordinaten)
gesetzt. Das Ergebnis ist fürchterlich bekommt aber gute Haltungsnoten

Etwas übersichtlicher ist der Weg über die explizite Gleichung...